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1、1,用迭代法 求代数方程的近似根,2,解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一,目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要,本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：不动点迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解,问题背景和实验目的,代数方程近似求解(教材第 92-94页),3,相关概念,若 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程,线性方程 与 非线性方程,本实验主要讨论非线性方程的数值求解,
2、4,内容提要,求解非线性方程的数值算法,牛顿迭代法,不动点迭代法,5,不动点迭代法,构造 f (x) = 0 的一个等价方程：, (x) 的不动点,f (x) = 0,x = (x),f (x) 的零点,不动点迭代基本思想,6,若 收敛，即 ，假设 (x) 连续，则,收敛性分析,迭代法的收敛,即,注：若得到的点列发散，则迭代法失效！,例：用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 0, 1 中的解。,fuluA.m,7,定义：,迭代法收敛性判断,定理 2：如果定理 1 的条件成立，则有如下估计,如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使得对 x0 开始的迭代 xk+1
3、 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。,8,迭代法收敛性判断,定理 3：,已知方程 x =(x)，且 (1) 对 xa, b，有 (x)a, b； (2) 对 xa, b，有|(x)|q 1；,q 越小，迭代收敛越快,(x*) 越小，迭代收敛越快,则对 x0a, b ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛，且,9,牛顿迭代法,令：,牛顿法基本思想,用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法,设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为,10,牛顿法迭代公式,牛顿迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,牛顿法的收敛速
4、度,令,牛顿法至少二阶局部收敛,(x) 即为牛顿法的迭代函数,例：用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 0, 1 中的解。,fuluB.m,11,牛顿法迭代公式,牛顿法的优点,牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法,至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。,牛顿法的缺点,对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解,在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。,12,Matlab 解方程函数,roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量,fzero(f,x0)：求 f(x)=0 在 x0 附近的一个根，f 是函数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，但不能是方程或符号表达式！,solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 是符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组 (包含非线性) 得不到解析解时，给出数值解,linsolve(A,b)：解线性方程组,13,上机作业与要求,分别用普通迭代法、牛顿法，求方程 的正的近似根（内容参见教材第 92-94 页）,上机作业,上机要求,将所编写的程序分别命名为 hw311.m, hw312.m,