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1、一般, 无穷小量的商有下列几种情形.,第六节 无穷小量的比较,则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作, (x)= O(x),则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.,则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作, (x) (x),显然, 若(x) (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量,但反之不对.,比如,(i),(ii),(iii),n,10 0.1 0.01 0.2 0.105,100 0.01 0.0001 0.02 0.01005,1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005, ,定理1. 设(x), (x), (x), (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)
2、是另一变量, 且, (x) (x), (x) (x), 则,只须右端极限存在或为无穷大.,证: (1) 因为(x) (x), (x) (x),所以,类似可证(2), (3).,例1.,解:,由于当x0, tgx x,从而tg2x 2x.,当x0, sinx x,从而sin5x 5x.,故,例2.,解:,= 1,例3.,解:,= 0,或,= 0 1= 0,例4.,解:,= 1,事实上, 若作代换, 有,显然, 这个结果是错误的.,例5. 当x0时, tgx sinx是x的几阶无穷小量?,解: 首先注意结论: 若当x0时, f (x) = O(x), g(x) = O(x), 则 f (x) g(
3、x) = O(x+), 其中, , 均大于0.,由于 tgx sinx = tgx(1 cosx),因 tgx x , 而 1 cosx = O(x2).,故 tgx sinx = tgx(1 cosx ) = O(x3).,当x0时, sinx x, tgx x, arctgx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x,常用的等价无穷小.,事实上, 当 y 0时, y = elny.,从而,= 1,注1.用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问题.,用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题.,用符号“0 ”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题.,三种类型可以互化.,比
4、如,注2. 若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 0.,则 f (x) g(x) = O(x),例. 火箭升空时, 质量变化情形如图.,m0,t0,一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.,反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.,第七节 函数的连续性,一、函数的连续性,x,x,y,y,x,y,x,y,x0,f (x0),A,B,x x0,x x0,从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续.,(x)在x0的极限不存在, 而,y,y,x0,y = (x),y = f (x),定义1. 设f (x)
5、在x0的某邻域U(x0)内有定义.,且,则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.,否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.,由于当f (x)为多项式时, 有,所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.,连续定义也可用 语言给出。,若对 0, 0,使得当|xx0|时,对应的函数值f (x)满足| f (x) f (x0) |,则称f (x)在x0处连续.,注: 与极限定义比较, 将“a“换成“ f (x0)“,将“0|xx0| “换成“ |xx0| “.,例1.,证:,又因为f (0)=0.,如图,还可得到, |x|在任何点x0处连续.
6、,称为x0的右邻域和x0的左邻域.,定义2.,则称f (x)在x0处右(左)连续.,设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义,定理1. f (x)在x0处连续 f (x)在x0左连续且右连续.,例2.,问a为何值时,f (x)在x=0连续.,解: f (0)=3,= 3,f (x)在 x = 0右连续.,为使f (x)在x=0连续, 必须 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=3.,故, a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,例3.,问f (x)在x=0是否连续.,解: f (0)=1,=1,右连续.,故, f (x)在x=0间断.,= 1, f (0),不左
7、连续.,图形为,若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续.,记作 f (x)C(a, b).,C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合.,其中,若f (x)在(a, b)内连续,且f (x)在x=a右连续.,在x=b左连续.,则称f (x)在闭区间a, b上连续.,记作 f (x)Ca, b.,一般, 设变量u从初值u0变到终值u1,记u=u1u0,称为变量u的增量(改变量).,u可正, 可负, 还可为0.,另外, u1 = u0+ u,记 y = f (x) f (x0) = f (x0 + x) f (x0),称为y在x0处相应于x
8、的增量(改变量).,设f (x)在U(x0)有定义,xU(x0),记 x =xx0,称为自变量x在x0处增量(改变量).,且 x = x0 + x,定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义.,若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f(x0)0,则称f (x)在x0连续.,连续定义可用函数的增量的形式给出.,如图.,B=(x0),A,x0+ x,y,C,D,x0,x0,y=CD的长,y=(x),f (x0),x0+x,x0+x,x0,x0,x0,y,M,N,y=CD的长,y= (MN的长),C,D,y=f (x),定理2. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则,(1) af
9、 (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数.,(2) f (x) g(x)在x0连续.,(3) 当 g(x0)0时,二、连续函数的基本性质,定理3. 设若y=f (x)由 y=f (u), u=(x)复合而成.,若u=(x)在x0连续,u0=(x0),而y=f (u)在u0,则复合函数y=f (x)在x0连续.,连续,证:,要证y=f (x)在x0连续, 只须证0, 0, 当|xx0| 时, 有| f (x) f (x0)|. 即可.,0, 因y=f (u)在u0连续,故 0, 当|uu0|, 有| f (u) f (u0)| .,又因u=(x)在x0连续.,从而对上述 0,0,
10、当|xx0|时, 有|uu0|= |(x) (u0)| .,进而有,| f (x) f (x0)| = | f (u) f (u0)| ,故y=f (x)在x0连续.,推论. 若lim(x) =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则 limf (x) = f lim(x),式子,= f (x0)相当于,因此, 有,例4.,解:,定理4. 若y =f (x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数x=f 1(y)在相应区间上严格单调增加(减少) 且连续.,定理5. 若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)0 (0 (0).,定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续.,(
11、2) 初等函数在其定义域内连续.,例5.,三、初等函数的连续性,称形如y=f (x)g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)0.,根据对数恒等式 y=elny, y0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即,因此, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续.,则,例6.,例7.,若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在.,例8.,= 21 = 2,例9.,例10.,若limf (x)=1, limg(x)= , 称limf (x)g(x) 为“ 1 ”型极限问题.,若limf (x)=0, limg(x)= 0, 称limf (
12、x)g(x) 为“ 00 ”型极限问题.,“ 1 ”, “00 ”和“0 ”型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1.,若limf (x)= , limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为“0 ”型极限问题.,例11.,解: “1 ”型,原式 =,函数 f (x)在 x0连续可简单地表示为:,要使它成立, 必须,(1) f (x)在 x0有定义;,(2) f (x)在 x0的极限存在;,(3) 两者相等.,这三条有一条不成立, 则 f (x)在 x0不连续(间断).,四、函数的间断点,设 f (x)在 (x0)内有定义,若f (x)是下列情况之一,(1) f (x
13、)在 x0无定义;,(2) f (x)在 x0的极限不存在;,(3),则称 f (x)在 x0处间断, x0称为f (x)的一个间断点.,例1.,解:,在其定义域内都连续.,故其间断点必是使函数无定义的点.,因 f (x)只在 x=0处无定义,故x=0为f (x)的唯一间断点.,而 f (x)在 x=0无定义,此时, 补充定义:,则,例2.,解: 这是一个由初等函数组成的分段函数.,这种函数的间断点若存在,通常在分段点x=0处.,事实上, 在(, 0)内, f (x) = 2x, 连续,在(0, +)内, f (x) = sinx, 连续.,只须考虑在 x = 0是否连续即可.,而 f (0)
14、 = 1.,则,如图,x,o,y,2,1,y=sinx,y=2x,1,一般, 若x0是 f (x)的间断点,则称 x0为 f (x)的一个可去间断点.,例3.,解: 类似例2. 只讨论分段点 x = 0 处情况.,由于,x = 0为 f (x)的间断点.,看图,一般, 若f (x)在 x0处的左, 右极限都存在, 但不相等,则间断点 x0称为 f (x)的跳跃间断点.,如图,x,o,y,2,1,y=x2,y=2+(x1)2,1,2,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.,或者说, 左, 右极限都存在的间断点称为第一类间断点.,不是第一类的间断点称为第二类间断点,或者说, 左, 右极限中至少
15、有一个不存在的间断点称为第二类间断点.,例4.,解: 间断点 x = 0.,故 x = 0 为第二类间断点.,一般, 若,中至少有,一个为无穷大,则称x0称为 f (x)的无穷型间断点.,例5.,解: 间断点 x = 0.,看图,故 x = 0 为第二类间断点.,定理1. (根的存在定理), 若f (x)Ca, b, 即f (x)在a, b上连续. 且 f (a) f (b)0.,则至少存在一点x0(a, b), 使得 f (x0) = 0.,看图.,定理1中的x0, 就是方程 f (x) = 0的根.,因此,也称定理1为根的存在定理.,第九节 闭区间上连续函数的性质,定理2. (介质定理),
16、 设f (x)Ca, b, f (a) f (b),则对于介于f (a) 和 f (b)之间的任意一值c, 至少存在点x0(a, b), 使得 f (x0) = c.,看图.,证: 令F(x) = f (x)c.,则 F(x)在a, b上连续,且 F (a) F (b) = (f (a)c)(f (b)c) 0,由根的存在定理, 至少存在x0(a, b), 使得 F(x0) = 0.即, f (x0) = c.,例1. 证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,证: 记 f (x)= ln(1+ex)2x,知 f (x)在0,1上连续.,且f (0)=ln20, f (1) =
17、ln(1+e)2,=ln(1+e) lne2, 0,由定理1, 至少存在一点x0(0, 1), 使得,故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.,定义1. 设 f (x)在区间I上有定义.,若x0I, 使xI.,有 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0),则称f (x0)为f (x)在I上的最大(或最小)值.,记作,定理3.,若f (x)在a, b上连续,则 f (x)在a, b上一定取得最大值和最小值.,推论1. 若f (x)在a, b上连续,则f (x)在a, b上有界.,看图,推论2. 若f (x)在a, b上连续,则对任何满足 mc M的值c,x0a, b,
18、 使得f (x0)=c.,例2.,例3.,不存在x0(1, 1), 使得f (x0) = 0.,看图,可见, 在定理13中,不能将“ a, b”改为“ (a, b)”;,连续这一条件不能少.,1. 函数项级数及部分和函数列(数列),设un(x), n = 1, 2, 都是定义在实数集X上的函数,称,(1),为函数项级数,为级数(1)的前n项部分和.,称函数列Sn(x),为级数(1)的部分和函数列(数列).,称,第十节 函数项级数,一、函数项级数的一般概念,2.函数项级数的收敛、发散和收敛域,x0X, 由于各un(x)在X上有定义, 从而un(x)存在.,将 x0 代入级数(1) 中, 可得常数
19、项级数,收敛点(或称级数(1)在 x0 收敛), 否则称 x0 为级数(1)的发散点(或称(1)在 x0 发散).,称级数(1) 的收敛点所成的集合D为级数(1)的收敛域.,当收敛域是一区间时, 称为收敛区间.,若级数(1)在区间I上每点都收敛, 则称(1)在I上收敛.,3.和函数,若级数(1) 的收敛域 D ,是一确定的实数, 从而,则x0D,函数.,记此函数为 S(x), 即,易见,4.一致收敛,我们知道, 有限个函数和的极限等于各函数的极限之和; 有限个连续函数之和仍为连续函数.,问题:,1. 是否有,其中右端各项极限均存在.,2. 若,在a, b内连续, 问,在a, b内连续?,回答是
20、都不一定.,例1.,易知, 它的每一项 xn xn1在0, 1上连续(n=2, 3, ). 且 Sn(x) = xn ,令 n , 有,知 S(x) 在 x = 1不连续, 它不是0, 1上的连续函数.,即,为保证级数可逐项求极限(以后还有求导，求积), 必须引进一致收敛的概念.,设,的收敛域为D, 和函数为S(x), 部分,和为Sn(x), 则x0D, 有,即 0, N 0, 当n N时, 有|Sn(x0) S(x0)| .,一般, 其中 N 不仅仅与 有关, 还与 x0 有关, 对同一个 , 当 x0 不同时, N也不同, 即 N = N(, x0).,若对某个级数而言, 存在只与 有关而
21、与 x0 无关的N, 则称该级数在D上一致收敛.,定义1. 设,和为Sn(x), 若 0, 存在与 x 无关的正整数,N = N(), 使得当 n N 时, 对一切 xD 都有,则称 在D上一致收敛于 S(x).,定理1.(柯西原理),的充要条件是: 0, N = N() 0, 当n, m N时,有 | Sn(x) Sm(x) | , x D .,若设 n m , 则上式为,定理2.(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法),(1) N 0, n N时, | un(x) | an , x D . 其中 an 为常数;,(2),例2.,解:,x R .,故此两级数一致收敛.,1.幂级数的概
22、念,定义2. 具有下列形式的函数项级数.,称为 x x0 的幂级数(或在 x = x0 的处的幂级数). 其中x0为常数, an称为幂级数的系数, n=0, 1, 2, .,特别, 若 x0 = 0, 则称 为 x 的幂级数(或在x = 0处的幂级数).,二、幂级数,令 x x0 = t , 得,显然, 幂级数 在 x = 0 处收敛于a0 . 即,的收敛域非空.,此两形式可通过变量代换互化.,定理3.(阿贝尔(Abel)定理),设幂级数,(1) 若 在 x = x0 ( x0 0)处收敛, 则它在满足 | x | | x0 | 的一切点 x 处绝对收敛, 即, 它在区间 (| x0 | ,
23、| x0 | )内的一切点 x 处绝对收敛.,(2) 若 在x = x0 发散, 则它在满足 | x | | x0 | 的一切点 x 处发散, 即, 它在区间 ( | x0 | , | x0 | )外的一切点 x 处发散.,看图. 若 在x = x0 处收敛, 则它在 (|x0| , |x0| )内绝对收敛.,若 在 x = x0 处发散, 则它在 (, |x0|) 和 ( | x0 |, +) 内都发散.,证: (1) 设 在 x = x0 ( x0 0) 处收敛, 即 收敛.,由数列收敛, 则该数列,必有界(即有界性定理)知,M 0, 使得,对满足| x | | x0 | 的一切 x ,
24、考虑,有,(2) 设 在 x = x0 发散, 即,要证对满足| x | | x0 | 的一切 x ,反设存在某个 x1 , 满足| x1 | | x0 | , 但,此与条件矛盾.,( | x | | x0 | ) .,收敛.,现在从原点出发, 沿 x 轴正向朝右走.,开始,我们遇到的可能都是收敛点.,就得到一个对称区间 ( x0 , x0 ), 在这个区间内,每遇到一个收敛点x0,如图,x,x0,x0,x0,x0,首先,0,当收敛点全走完, 一旦遇上第一个发散点 x , 则以后的点全是发散点. 即 (, x ) (x , +)内都是发散点.,如图,可见, 存在数r, 它们将收敛点和发散点隔开
25、.,在(r, r) 内全是收敛点, 在它外面全是发散点.,在 x = r 处级数 可能收敛也可能发散, 要具体判断.,称具有上述特点的正数 r 为 的收敛半径.,特别, 若 只在 x = 0 收敛, 在其余点都发散, 规定收敛半径 r = 0.,若 在 x 轴上都收敛, 规定收敛半径 r = +.,当 r 0时, 的收敛域必是一个区间, 称它为 的收敛区间.,r, r)、(r, r、r, r.,收敛区间可能为 (r, r)、,2.幂级数收敛半径的求法,定理4. 设 r 是幂级数,的收敛半径, 而,的系数满足,其中an0(当n充分大时),则,(1) 当0 +时，,(2) 当 = 0 时，r =
26、+;,(3) 当 = + 时，r = 0.,证：考虑正项级数,由达朗贝尔判别法,(1) 若0 +，则当 | x | 1, 即,幂级,数绝对收敛, 从而收敛.,(2) 若 = 0, 则 | x | = 0 1, 知对xR, 级数收敛.,故 r = +.,(3) 若 = + ，则当 x 0 ， | x | 1, 级数发散.,故 r = 0.,注1. 对(xx0)的幂函数,仍可用定理4的,结论求收敛半径 r.,当r = 0时, 级数只在x = x0收敛;,当r 0时, 级数在满足|xx0|r的点x上收敛, 即在(x0 r, x0 + r)内收敛.,区间端点x0 r 处级数敛散,性另行判断;,当 r
27、= +时, 级数在(, +)收敛.,注2. 对缺无穷多项的幂级数，如 、,、,不能直接用定理4求收敛半径,而要象定理4的证明一样，用达朗贝尔判别法求收敛半径。,例3. 求,解：因为,故收敛半径,即级数在(-3, 3)内收敛.,考虑, 当 x = 3时, 级数,由于,发散.,收敛.,所以, 级数的收敛区间为(3, 3.,例4.,解：这是一个(x1)的幂级数, 可用定理4求收敛半径.,故 r = 1.,当| x 1 | 1 即 0 x 2时, 级数收敛.,当 x = 0 时,故收敛区间为0, 2).,例5. 求,解：这是缺无穷多项的, (x2)的幂级数, 不能直接用定理4求收敛半径.由达朗贝尔判别
28、法.,故收敛半径 r = 2, 级数在(0, 4)内收敛.,当 x = 0 时,收敛.,当 x = 4时, 级数,收敛.,收敛区间为0, 4.,定理5. 设,则,(1) 当0 +时,(2) 当 = 0 时, r = + ;,(3) 当 = + 时, r = 0 ;,例6. 求,解:,故 r = 0 ;,即, 级数只在 x = 0 处收敛.,3.幂级数的运算:,记 r = min(r1, r2), 则在(r, r) 内可作如下运算.,(1) 加法运算,(2) 乘法运算,(3) 除法运算,当b0 0时,其中cn 满足,a0 = b0c0,a1 = b1c0 + b0c1,a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2,an = bnc0 + bn1c1 + + b0cn,可依次求出 c0 , c1 , , cn .,