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1、約制方程式,約制方程式的推演 控制點坐標的平差,約制方程式,前言 控制點坐標的平差 三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向 Helmerts法 約制平差的多餘觀測 以加權強制約制,前言,在平差中，有時需將觀測量的值固定。 如固定控制點的坐標，此情形稱為約制平差。 又如將某線段的方向與長度固定，或是在水準測量時，兩點的高差固定；都屬於約制平差。,控制點坐標的平差,前面幾章中，平差時並不包含控制點坐標，即控制點坐標固定，因此是進行約制平差。 在此平差中，觀測量被強制去符合控制點。 然而，控制點並非完美，且所有控制點也非具有相同的可靠度。 平差時，若有多於最小控制的控制點被固定，則觀測量將被強制去符
2、合這些控制點。 如，兩個控制點坐標被固定，但它們的實際位置與由坐標反算的值並不一致，則觀測量將被平差去吻合這個錯誤的控制點。 此作法將導致平差後的殘差太大。 較佳的作法是，根據控制點坐標的品質，將其加入平差。,控制點坐標的平差,控制點坐標的觀測方程式 平差時，若要將控制點加入平差，則每一控制點都將有一對此觀測方程式。 若要固定控制點，則將其坐標的權加大，反之，則減小其權。 透過適當的權調整，所有控制點都可依據其精確度的水準加入平差行列。,平差後的控制點坐標,已知的控制點坐標,例19.1,注意：,J矩陣的最後四列即為控制點的觀測方程式。每個點有兩個觀測方程式。 X矩陣則相應地增加四個改正數：dx
3、A, dyA, dxC, dyC。 K矩陣則增加了四個觀測量。 多餘觀測量(自由度)則維持不變。,權矩陣的構成必須知道控制點坐標的標準差(或變異數)。 已知的控制點為距離精度，(1:10,000)，並不知道坐標的變異數，其推求如下：,因距離精度為1:10,000，故其最大距離誤差為0.25ft。 代入上式，得坐標的標準差為,根據控制點坐標的標準差以及其他觀測標準差即可組成權矩陣。,三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向,在例13.2中，控制點被固定。此作法可經由令dx與dy的係數為0，輕易做到。 在此例中，因其中一個端點被固定，故每個觀測方程式中僅有兩個未知數。 此種將控制點固定的方法稱為約制
4、消去解法。 以矩陣來表示則為,三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向,圖19.2為以約制方程式分割A、X與L矩陣。C矩陣為約制方程式的係數矩陣，被分割成C1與C2。 A、C與X被分割成兩個矩陣方程式，分別以約制與無約制的觀測量來區隔。 分割時要注意不可讓C1矩陣成為奇異矩陣。 若為奇異矩陣，則必須決定新的約制方程式。 然約制方程式數量不能太大。,三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向,由(19.6)式可解得X1。 再代入(19.5)式後可解得X2。 再由X2來求解X1。 在約制消去解法中，約制方程式是用來消去平差時的未知參數。因此，在平差時固定了特定的幾何條件。,以約制消去固定線段方向,此法是
5、先列出約制方程式，再代入觀測方程式中，即可消去未知參數。 以右圖來說明，因為IJ方向固定，因此J點的在平差時，被限制在IJ的方向上，其關係式如右,以約制消去固定線段方向,右圖在三邊測量平差時，固定AB的方向。 AB的距離方程式則變為(19.12)式 將約制方程式代入即可消去一個未知參數dxb,Helmerts法,另一介紹約制方程式的方法是由F. R. Helmert在1872年提出。 此法是將約制方程式加到約化法方程式的邊緣。 先利用前面12至18章的方法建立法方程式，再建立約制觀測方程式，並將其加到法方程式中，使其成為增加的列(C)與行(CT)，同時將其約制值加到常數矩陣中(L2)。,約制逐
6、差水準測量平差,圖19.5水準網中各水準路線的觀測值如表所示。其中B到E的高差固定為-17.60ft，而A點高程為1300.62ft。,解：依照觀測資料建立觀測方程式的矩陣A、X與L,權矩陣為,約化法方程式為,約制方程式,E B = -17.60,ATWA,ATWL,C,CT,C,L2,新增加的參數 此參數並無實際用途,加入約制方程式後的法方程式,解此法方程式得,注意： B點高程為1325.686 E點高程為1308.086 二者高差正好-17.60,網形中約制線段方位,圖19.6網形中，AB線段的方向角保持在N004E，觀測資料如下所示。Helmerts法可用來約制此線段的方位。 以最小自乘
7、法進行平差此網形。,解：,此為三邊測量網形平差，每一距離觀測可列一觀測方程式，再將觀測方程式組約化成法方程式,根據式(14.9)，AB線段方位角觀測方程式為,將此約制方程式加入約化法方程式的邊緣,因為觀測方程式係經過線性化，故須以迭代法進行求解，直到各改正數趨近於0為止。 各改正數的加總如下：,將此改正數和加到初始值，即可得到B、C與D的最終坐標。 B: (1003.072, 3640.003) C: (2323.081, 3638.468) D: (2496.081, 1061.748),檢核：,約制平差的多餘觀測量,因約制方程式可減少未知參數，故可增加平差時的多餘觀測量(自由度)。自由度的
8、計算式如下 r = m n + c 在例19.2中，m=7、n=4、c=1，故r=4。 此例中若無約制方程式，則r=3。因此，約制方程式可增加自由度。 在平差中加入約制條件時，應小心為之。 可加入的約制數量最大為未知參數的數量，但如此一來，將固定所有的未知參數，而導致平差無效，浪費時間。 加入的約制可能在數學上並非獨立方程式，在此情況下，即使平差有解，而兩個相依的方程式僅能減少一個未知參數，故自由度僅增加1。,以加權強迫約制,在最小自乘法平差中，對要約制的觀測量加重給權(與其他觀測量相較，明顯地增加權值)，可避免上述處理約制方程式的方法。 在例15.2中，就是以這種方式來固定一個線段的方向。 例19.3中，平差時在觀測方程式組中，加入AB方位角以及控制點A的坐標等觀測方程式。 這些觀測量是經由指定AB方位角的標準差為0.001”，以及控制點A坐標的標準差為0.001ft等方式來固定。 此例子解算第一次迭代的J、K與W矩陣如下：,平差結果如下所示，控制站A之坐標維持固定，且AB方位角的殘差為0；因此，僅需對要固定之觀測量加重給權，而不需加入約制方程式，就可以達到約制的目的。,利用這種方式所求得之B、C、D點坐標與例19.3所求完全相同。,