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1、第一节 导数的概念及运算,基础梳理,数量化,视觉化,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .,3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自 变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 .,切线的斜率,变化,变化,f(x).,4. 基本初等函数的导数公式,f(x)= .,f(x)= .,k,0,1,2x,cos x,sinx,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)= ; (2)Cf(x)= (C为常数); (3)f(x)
2、g(x)= ;,f(x)g(x),Cf(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),典例分析,题型一 利用导数的定义求导数 【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值. 分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解. 解 当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2. 学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三 1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.,题型二 利用求导公式求导数 【例2】求下列函数的导数.,解析,分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.
3、,学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,解 (1)y=( )sin x+ (sin x) =2xsin x+x2cos x. (2),举一反三 2. 求函数 的导数.,题型三 导数的物理意义及在物理上的应用 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬时速度.,解析,分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为 (2)方法一（定义法）： 质点在t=1时的瞬时速度v=,方法二（求导法）： 质
4、点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三 3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,解析： 物体在 时刻的瞬时速度为 .,题型四 导数的几何意义及在几何上的应用 【
5、例4】(14分) 已知曲线 (1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程； (2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率 k=f(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解 （1)y=x2,2 在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3 曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.4,(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为 即 点P（2，4）在切线上， 即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0
6、, x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三 4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0, 即斜率是2，则.
7、解得 ,即点P(1,0), 点P到直线2x-y+3=0的距离为 , 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,题型五 复合函数的导数 【例5】求下列函数的导数. .,分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的 求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.,解,学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中 间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是: (1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系 （简称分解复合关系）； （2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数 （简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘）,举一反三 5
8、.求下列函数的导数。,解析：,易错警示,【例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程. 错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在. 错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,考点演练,10. 已知函数 的图象都过点 P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析： f(x)过点（
9、2,0）, ,解得a=-8, 同理，g(2)=4b+c=0. f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率 . 又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16. 综上，a=-8,b=4,c=-16.,11. 设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x),解析: 将 中的x换成 ， 可得 将其代入已知条件中得 ,12. (2008宁夏)设函数 (a,bZ),曲线y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程为y=3. (1)求f(x)的解析式； （2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对 称中心； （3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直
10、线y=x所 围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析: (1)f(x)= . 于是 ,解得,(2)证明:已知函数 都是奇函数， 函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的 中心对称图形.由 可知f(x) 的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位， 再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的. 故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点 , 由 知， 过此点的切线方程为. 令x=1,得 ,切线与直线x=1的交点为 . 令y=x,得 , 切线与直线y=x的交点为 . 直线x=1与y=x交点为(1,1). 从而所围三角形面积为 所以所围三角形的面积为定值2.,