一逻辑代数的三个基本运算.ppt

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1、一：逻辑代数的三个基本运算,二：逻辑代数的基本定律,三：复合逻辑运算,四：逻辑函数表达式的常用形式,五：逻辑函数的代数法化简,第二章 逻辑代数基础,六：逻辑函数的K诺图化简,七：非完全描述逻辑函数的化简,逻辑命题和逻辑变量,1.逻辑命题：反映事物因果关系规律的命题。 2.逻辑变量：决定事物原因和结果的变量。 逻辑自变量：决定事物原因的变量。（输入变量） 逻辑因变量：决定事物结果的变量。 （输出变量）,二逻辑函数 逻辑函数反映数字输出与输入之间的因果关系。 如： F=f(A、B、C),2.1逻辑代数的三个基本运算,逻辑代数：数字电路分析和设计使用的数学工具 在逻辑代数中 与 （AND ） 或 （

2、OR） 非 （NOT） 3种基本逻辑运算 逻辑关系 语句描述 VHDL 逻辑表达式 F=f(A、B、C) 表格 真值表 图形符号 逻辑符号,2.1逻辑代数的三个基本运算,2.1 逻辑代数的三种基本运算,A B,F,逻辑式： F=A B=AB,与门：,1. 与运算（逻辑乘）,A、B都具备时，事件F才发生。,0 0,0,0 1,0,1 0,0,1 1,1,真值表,1,F,B,F,F,A,A,A,B,B,或门：,逻辑式：F=A +B,2. 或运算（逻辑加）,2.1 逻辑代数的三种基本运算,A、B有一个具备，事件F就发生。,A B,F,0 0,0,0 1,1,1 0,1,1 1,1,非门：,3. 非运

3、算（逻辑反）,2.1 逻辑代数的三种基本运算,R,A具备时 ，事件F不发生； A不具备时，事件F发生。,A,F,0,1,1,0,逻辑式：F=A,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,A,B,0,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,波形图注意事项：,1、输入波形要穷举所有可能的输入组合(n个输入变量由2n种可能),2、输出波形与输入变化对应,基本逻辑关系波形,0-1 律,重叠律,互补律,还原律,分配律,结合律,交换律,2.2 逻辑代数的基本定律和规则,反演律,吸收律,冗余律,在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以

4、消去。,公式可推广：,2.2 逻辑代数的基本定律和规则,重叠律：AA=A,2.2 逻辑代数的基本定律和规则,反演规则 当已知某一逻辑函数F，将F中的所有“ ”号变为 “+”号,将“+”号变为“”号,常量“0”变为“1”,“1”变为“0” ,原变量变为反变量,反变量变为原变量,便可求得F的反演式。,对偶规则 设F是一个逻辑函数式，将F中所有“”号变为“+”号,将“+”号变为“”号,“1”变为“0”,“0”变为“1”,而变量保持不变,那么就得到一个新的逻辑函数F*,通常将它称为F的对偶式。,代入规则 任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的 位置都代之以一个函数F,则等式仍然成立。,逻辑代数中

5、的三个重要规则,1、不能破坏原式的运算顺序先括号后与、或 2、不属于单变量上的非号应保留 用于逻辑关系的证明,性质：1、F与F*互为对偶函数 2、任何函数均存在对偶函数 3、若F=G成立，则F*=G*成立,代入规则举例,反演律,如用FBC代替式中的B,A + B + C = A B C,A + B + C = A B C,反演规则举例,F=A+B+C+D+E,两个或者两个以上长非号不变,对偶规则举例,F=A B + A （C+0）,两个或者两个以上长非号不变,F=（A B） （A C 1）,2.2 逻辑代数的基本定律和规则,2.3 复合逻辑运算,1.与非逻辑,与非门,或非门,5. 与或非逻辑,

6、1.常用形式,（1）与或式 F=AB+CD,（2）或与式 F=(A+B)(C+D),（3）与非与非式,（4）或非或非式,（5）与或非式,2.3 复合逻辑运算,3.异或逻辑,A B,F,0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0,A B,F,0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1,4.同或逻辑 F=A B=,异或逻辑与同或逻辑,逻辑门（复习）,F=AB,F=A+B,1. 常量与变量的关系,逻辑代数的基本定律（复习）,自等律,0-1律,重叠律,还原律,互补律,运用对偶规则,2. 逻辑代数的基本运算法则,结合律,分配律,交换律,逻辑代数的基本定律,反演律,列真值表表证明：,逻辑代数的基本

7、定律,吸收律,A+AB = A,逻辑代数的基本定律,多余项定律,A(A+B) = A,3.,化简的原则：（1）与项最少； （2）与项中的变量数最少,2.4 逻辑代数的代数法化简,利用公式化简,例,1.,2.,逻辑代数的化减,2.4 逻辑函数的两种标准式,最小项定义： n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。,（1）最小项,与项 :,三变量最小项（标准与项） :,最小项表达式：,最小项,最小项通常用符号mi来表示。,三变量的最小项,mi,最小项,三变量逻辑函数的最小项,*叫最小项，可能是对应这个输入，只有一个与项为1,三变量表决器真值表,（2）最小项

8、表达式,最小项表达式,最小项得简写形式,m (3,5,6,7),F(A,B,C) m6 + m5 + m3 + m7,A B C,Z,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,0,1,0,0,1,1,1,最小项表达式,求 最小项表达式,或项 :,三变量最大项（标准或项） :,最大项表达式：,（3）最大项和最大项表达式,最大项定义： n个变量的最大项是含n个变量的“或项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。,（3）最小项与最大项的关系,输入取值使该最大项为0,= M(1, 2 ,4),F =M 2 M 4 M1,最大项表达式,

9、例：或与表达式,F = (A + B )( A + C ),最大项表达式,A(B+C)=AB+AC A+(BC)=(A+B) (A+C),最小项和最大项的性质, n变量的全部最小项之和恒为1， 全部最大项的之积恒为0。, 任意两个最小项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等于1 。, n变量的每一个最小（大）项有n个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图（Karnaugh Map）。,1.卡诺图的构成,A B,0 0,0

10、1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,AB,二变量K图,2.6 逻辑代数的K诺图化简,两变量K诺图,2.6 逻辑代数的K诺图化简,建立多于二变量的卡诺图，则每增加一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称图形，对称轴左面（或上面）原数字前增加一个0，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个1。,三变量K诺图,增加的变量,增加的变量,卡诺图是上下，左右代码循环的闭合图形。,几何相邻： 一是相接，即紧挨着； 二是相对，即任意一行或一列的两端； 三是相重，即对折起来位置重合。,三变量K图,四变量K图,2.6 逻辑代数的K

11、诺图化简,增加的变量, 给出真值表,将真值表的每一行的取值填入卡诺图的每个小方格中。,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2、K图的填写,2.6 逻辑代数的K诺图化简, 给出逻辑函数的最小项标准式,将逻辑函数的最小项在卡诺图上相应的方格中填1； 其余的方格填0(或不填)。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填1的那些最小项之和。,例：用卡诺图分别描述下列逻辑函数,解：,2、K图的填写,F=m(1,2,6,7),F=m(0,2,6,8,10,13,15), 给出逻辑函数一般与或式,确定使每个与项为1的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格填1； 其余的方格填0(或不填)。 也可化为标准与

12、或式，再填入。,例：用卡诺图描述下列逻辑函数,C：当ABC=1(表示可以为0，也可以为1)时该与项为1，在卡诺图上对应四个方格(m1，m3，m5，m7)处填1。,2、K图的填写,=m(1,3,5,7,4),=m(1,3,4,5,7),00,01,11,10,00,01,11,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,CD,AB,B ： 当ABCD=1时该与项为1， 对应八个方格(m4、m5、m6、m7、m12、m13、m14、m15)处填1。,：当ABCD=100时该与项为1， 对应两个方格(m8、m12)处填1。,：当ABCD=110时该与项为1，在卡诺图上对应两个方格(m10、m14)

13、处填1。,解：,BC ：当ABCD=11时该与项为1， 对应四个方格(m6、 m7、m14、m15)处填1。,某些最小项重复，只需填一次即可(1+1=1)。, 给出逻辑函数的最大项标准式,将逻辑函数的最大项在卡诺图上相应的方格中填0（或不填）； 其余的方格填1。 任何一个逻辑函数都等于其卡诺图上填0的那些最大项之积。,用卡诺图描述逻辑函数,解：,2、K图的填写, 给出逻辑函数一般或与式,确定使每个或项为0的所有输入变量取值，并在卡诺图上对 应方格填0；其余的方格填1。 也可化为标准或与式，再填入。,C,AB,0,00,01,11,10,0,0,0,0,0,1,1,解：,C：当ABC=0(表示可

14、以为0，也可以为1)时该或项为0，在卡诺图上对应四个方格(m0，m2，m4，m6)处填0。,2、K图的填写,1,1,F=C (A+B) =m(1,5,7)=M(0,2,3,4,6),在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。, 任何一个合并圈(即卡诺圈)所含的方格数为2n个。 必须按照相邻规则画卡诺圈，几何位置相邻包括三种情况： 一是相接，即紧挨着的方格相邻； 二是相对，即一行(或一列)的两头、两边、四角相邻； 三是相重，即以对称轴为中心对折起来重合的位置相邻。 2n个方格合并，消去n个变量。,一、卡诺图中最小项合并规律,3、用卡诺图化简逻辑函数,3、用卡诺图化简逻辑函数,画出逻辑函数的

15、卡诺图。 圈“1”合并相邻的最小项。 将每一个圈对应的与项相或，即得到最简与或式。,尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 圈的个数尽量少。 卡诺图中所有取值为“1”的方格均要被圈过，即不能漏下取值为“1”的最小项。 保证每个圈中至少有一个“1格”只被圈过一次，否则该圈是多余的。,画圈原则：,二、最简与或式的求法,3、用卡诺图化简逻辑函数,与项由K圈对应的没有变化的那些变量组成，当变量取值为“1”时写原变量， 取值为“0”时写反变量。,尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性

16、。 圈的个数尽量少。 卡诺图中所有取值为“1”的方格均要被圈过，即不能漏下取值为“1”的最小项。 保证每个圈中至少有一个“1格”只被圈过一次，否则该圈是多余的。,保证每个圈中至少有一个“1格”只被圈过一次，否则该圈是多余的。,画卡诺圈注意事项,AB,BC,多余卡诺圈,3、用卡诺图化简逻辑函数,BD,B,三、最简或与式的求法,画出逻辑函数的卡诺图。 圈“0”合并相邻的最大项。 将每一个圈对应的或项相与，即得到最简或与式。,圈“0”合并与圈“1”合并类同； 或项由K圈对应的没有变化的那些变量组成，当变量取值为“0”时写原变量， 取值为“1”时写反变量。,注意：,3、用卡诺图化简逻辑函数,解：,F=

17、 m(0,1,3,5,7,8,9),例 用卡诺图将下面函数化为最简或与,3、用卡诺图化简逻辑函数,四.含有无关项的逻辑函数的化简,对应输出函数值没有确定值的最小项（最大值）称为无关项、任意项或约束项。函数值可以为1，也可以为0（记为或）。,对于输入变量的每一组取值组合，逻辑函数都有确定的值，则这类逻辑函数称为完全描述的逻辑函数。,对于输入变量的某些取值组合，逻辑函数值不确定（可以为1，也可以为0），或者不存在，这类逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数。,3、用卡诺图化简逻辑函数,对于最小项之和表示式为：,对于最大项之积表示式为：,含有无关项的逻辑函数，由于在无关项的相应取值下，函数值随意取成0或1都不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项来化简逻辑函数，即采用卡诺图化简函数时， 可以利用 (或)来扩大卡诺圈。 ,含有无关项的卡诺图化简：,原则：需要时才用，不需要时不用。,2.7 非完全描述逻辑函数化简,例：用卡诺图将函数化为最简与或式和最简或与式。,解：,用卡诺图化简逻辑函数,F = m(2,4) + (3,6,7),例1：输入为一位8421BCD码，当输入的数值大 于5时输出为1。列出真值表，写出函数式。,用卡诺图化简逻辑函数,小结,门电路的逻辑符号及逻辑表达式 逻辑表达式的公式法化减 逻辑表达式的标准形式 卡诺图的填写及化减方法,真的要退出本章节吗？,是Y,否N,