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1、7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,一、虚功原理,受有理想约束、 定常约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条件是作用于该系统的全部主动力的虚功之和为零.,在直角坐标系中, 上式写成,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,当力学系统相对惯性系处于静平衡时,必要条件的证明：,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：,对于受有理想约束的系统,力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式,根据质点系的动能定理,说明系统开始时静止, 以后就会始终保持静止,7-3 虚功原理（微分形式的
2、变分原理）,几点说明：,(1) 普适性.,(2) 在变动中寻找平衡的条件. 例如单摆,(3) 与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上, 而是放在区分主动力和约束力上.,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,如图所示提升重物的装置 ,以把手端点的弧坐标s为广义坐标,设重物距地面高度为h,根据虚功原理,如果知道h和s的函数关系, 通过上式, 就可求出,(4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 是对任意的虚位移而言的, 而不是针对特殊的虚位移 .,由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由虚功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不定乘子法, 可以求出约束
3、力,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,二、广义平衡方程,据虚功原理,有,为了得到广义平衡方程, 需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式.,展开后写成,在完整系中,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,推出,广义平衡方程,虚功原理又可叙述为: 对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零.,对于主动力均为有势力的有势系, 有,所以,广义平衡方程成为,代入虚功原理中,有,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,三、虚功原理的应用,例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为m1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动, 此杆的 A端用光
4、滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连. 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时, 两杆与铅垂线的夹角1和 2.,1、判断约束类型,是否完整约束?是否理想约束?,2、判断自由度,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,质量为m的小环P被限制在一个半径为R的光滑大圆环上,大圆环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度.,质点在球坐标系中用r,描述,非定常约束,3、分析受力(主动力),7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,4、由虚功原理,5、建立坐标系(必须是静止坐标系),6、转化成广义坐标,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,广义平衡方程,7-3
5、 虚功原理（微分形式的变分原理）,可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:,所以,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,法二 先求出广义力,再写出平衡方程,s=2, 所以有2个广义力,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,应用虚功原理解题的主要步骤是：,(1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件；,(2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标；,(3)分析并图示系统受到的主动力；,(5)求解广义平衡方程.,7-3 虚功原理（微
6、分形式的变分原理）,四、利用虚功原理求约束力,1、利用释放约束的方法求约束力,例题4 试求例题3中O处的约束力.,代入虚功原理,得,可解出约束力:,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法),先设系统由1个质点组成, 受1个完整约束,用3个直角坐标作为描述系统位置的变量. 于是当系统平衡时, 应满足虚功原理,乘待定常数(不定乘子) ，与前式相加, 得,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,不定乘子是一个与约束力有关的量.,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,将约束都释放, 并将约束力视为主动力, 虚功原理成为,即,可知,设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约
7、束力为,即,说明约束力沿曲面的法线方向，,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,一般性讨论,设一力学系统由n个质点组成,受到 k个完整约束的限制,则3n个坐标中有 k个是不独立的. 系统平衡时, 应满足虚功原理,它们满足k个由完整约束给出的方程:,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,与k个约束方程联立求解, k个与平衡位置坐标便可同时求出. 称为不定乘子, 又称拉格朗日乘子. 这种方法称为不定乘子法.,将k个完整约束都释放, 并将约束力都视为主动力, 虚功原理成为,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,3n个坐标变分变成完全独立的了, 所以,不定乘子与约束力有密切关系.,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,例题 5 一质量为m的质点P被限制在光滑球面上运动. 已知球面的半径为a, 求质点的平衡位置和约束力.,解 系统: 质点,建立原点在球心上的直角坐标系 Oxyz,质点的约束方程为,s=2,但解题时仍以质点的3个坐标x,y,z作为确定质点位置的变量. 它们的变分不独立, 满足以下关系:,质点所受的主动力是重力,根据虚功原理,即,7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）,不定乘子的待定性可使x,y,z相互独立(系数均为0), 于是,可得到质点平衡位置的两组坐标:,