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1、一阶常微分方程初值问题的数值方法,-单步法,泰山学院信息科学技术系,一阶常微分方程初值问题的一般形式是:,称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz条件是指:,利用Picard逼近容易证明: Th1 若f(x,y)在区域D上连续,且对y满足Lipschitz条件,则初值问题(1)在a,b上存在唯一的连续可微解y.,利用Gronwall不等式易证解连续依赖于初值条件:,一. Euler方法,局部截断误差,Euler方法的局部截断误差,二.改进的Euler方法,改进的Euler方法的局部截断误差,整体截断误差,8.1.2 一阶常微分方程初值问题的 Runge-Kutta方法,考虑一阶常微分
2、方程初值问题,将区域a,b进行分划：,若 则,n级显式Runge-Kutta方法,n级显式Runge-Kutta方法,二级Runge-Kutta方法,取n=2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为 ,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,n级显式Runge-Kutta方法,二级Runge-Kutta方法,取n=2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为 ,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,二级Runge-Kutta方法不超过二阶,记 则,因此局部截断误差只能达到,三级Runge-Kutta方法,取n=3,记,又由于,因此要使局部截断误差为O(h4)，必须,Kutta方法,取,三阶Heun方法,取,三级Runge-Kutta方法不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析 将 和 都展开到 项 易证三级Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,四级R-K方法,取n=4,经典R-K方法,局部截断误差为O(h5),附注,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到 五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,