一阶微分方程的求解ppt课件.ppt

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1、电路暂态分析的目的是为了得到 电路的时域响应。,建立动态电路的状态方程,得到一阶微分方程组(或一阶微分方程),再求该方程组的解。,因此暂态分析的实质就是如何获得并且求解电路的常微分方程。,3.3 一阶微分方程的求解,一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下, 求微分方程的初值问题,基本思想: 在初值问题存在唯一解的时间区间内,在若干个时间离散点上,用差分方程代替微分方程,然后逐点求解差分方程,得到各时间离散点 、 处的函数 近似值 、 ,当两相邻离散点之间的间隔较小时,用一阶差商 取代一阶导数,一.前向欧拉法,令步长 ,则,其近似值为:,近似解的误差首先是由差商近似代替微商引起的,这种近似代

2、替所产生的误差称为截断误差。还有一种误差称为舍入误差,这种误差是由于计算时数值舍入引起的。,前向欧拉法的几何意义:,在任一步长内,用一段直线代替函数 的曲线,此直线段的斜率等于该函数在该步长起点的斜率。,欧拉法的几何意义:过点A0(t0,y0),A1(t1,y1),A n(t n,y n ),斜率分别为f(t0,y0),f(t1,y1),f(tn,y n)所连接的一条折线,所以欧拉法亦称为欧拉折线法。,例1. 应用前向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1,并把计算结果与精确解比较,解:据前向欧拉法,又,有:,【思路】 用欧拉法求解常微分方程的初值问题时,首先熟练掌握欧拉公式的一般形式,根据具体题

3、目写出找出欧拉公式的迭代式,并根据初始条件和所给步长进行迭代求解。,微分方程 是一阶线性微分方程, 可求出其通解:,则方程的解为:,从而有:,带入初值 可得,一阶非齐次线性微分方程,计算结果列表( 为前向欧拉法计算近似值, 为精确值),正,分析:,当步长不是很小时,前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后,步数越多,误差越 大。,二、后向欧拉法,其近似值:,在任一步长内,用一段直线 代替函数 的曲线,此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。,后向欧拉法的几何意义:,精确值,近似值,注:后向欧拉法的两种处理方式 前向Euler法为显式,后向Euler法为隐式须解出yk+1. 可用迭代法 y

4、k+1 (n+1) = yk + hf (tk+1,yk+1(n) n = 0,1,2, 解得yk+1 , 其中yk+1(0) = yk + hf (tk,yk).(结合前向欧拉法,预报),例2. 应用后向欧拉法解初值问题,取步长h=0.1,并把计算结果与精确解比较,解:据后向欧拉法,又,计算结果列表( 为后向欧拉法计算近似值, 为精确值),负,三. 梯形法及其预估-矫正法,用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值,梯形公式 (欧拉中点公式),近似值:,改进欧拉法,显然,梯形公式是隐式法,一般求 需要解方程,常采用迭代法,初值由显式的欧拉公式给出:,然后将 替代梯形公式

5、等式右边出现的,当步长h足够小,且由前向欧拉法计算的已是较好 的近似,则迭代一、二次即可,预报,校正,迭代次数,几何意义 Euler法折线法 改进Euler法平均斜率折线法,例3. 应用梯形预估-矫正法解初值问题,取步长h=0.1,并把计算结果与精确解比较,解:据前向欧拉法,梯形预估-矫正,计算结果列表( 为梯形预估-矫正法计算 近似值, 为精确值),function T Y=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M) % odefun: 微分方程 a、b:计算区间 % ya:初值 y(a) M:等分数目 % T: 离散的时间变量 Y梯形公式的预估校正法解 h=(ab(2)

6、-ab(1)/M; 步长 T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1); T=ab(1):h:ab(2); Y(1)=ya; for j=1:M k1=feval(odefun,T(j),Y(j); k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1); Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2); end,Function y=euler_3_3_2(t,x) y=2/t*x+t2*exp(t ),T Y=Trapezia_reckon ( euler_3_3_2,1 2,0,10),不同求解器的特点,在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时,往往又包含着多

7、个变化速度相差十分悬殊的子过程,这样一类过程就认为具有“刚性(stiff)”,描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。 例如,电路某一变量以e-t缓慢衰减,而另一变量以e-1000t快速衰减,两变量时间常数相差很大,建立的常微分方程就具有“刚性”。 刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模式控制,刚性问题解答的难度就在于其快变子过程的干扰。当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时,尽管快变分量的值已衰减到微不足道,但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度,一般地说,隐型方法比显型方法具有更大的稳定性,因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适. 在MATLAB中,ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb适合求解刚性问题。,

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