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1、,2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示,/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/,变量分离、线性、恰当方程等,能解出,转化,不能解出 或解出形式复杂,转化,引进参数变量变换,熟练掌握,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation,一、 能解出 y (或 x )的方程,这里假设函数 有连续的偏导数。,解法：引进参数 ，则(2.4.1)变为,两边关于 x 求导，并把 代入，得,关于 x 和 p 显式方程,2.4 Implicit First-Order ODE
2、 and Parameter Representation,若已得出(2.4.3)的通解形式为, 代入(2.4.2)得,就是(2.4.1)的通解。,(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1),有参数形式的通解,其中 p 是参数，c为任意常数。,(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1),其中p是参数,c为任意常数。,有参数形式通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解法,两边对 y 求导,(2.4.6),若求得为,则(2.4.4)的通解为,若求得为,则(2.4.4)
3、的通解为,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解法1：,解出 y,令,得,两边对 x 求导,例1,求解方程,当,时，上式乘以 p，得,积分，得,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,将它代入,因此，方程参数形式通解,当 p=0 时, 由,可知，y=0也是方程的解。,解出 x，得,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解法2：,解出 x，并把 ，得,两边对 y 求
4、导,所以，方程的通解为:,此外，还有解 y = 0,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解,令,得,两边对 x 求导，得,例2,求解方程,将它代入,得方程的通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,方程的通解,再由,得,将它代入,，又得方程的一个解,此解与通解,中的每一条积分曲线均,相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给,出奇解的确切含义。,注意:,2.4 Implicit First-Order ODE and Pa
5、rameter Representation,x,y,o,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,二 、 不显含 y ( 或 x 的方程 ),解法：,引入变换,从(2.4.7)得到,则，方程的参数形式通解为,关键,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,令,通解为,特殊情形,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解法：,引入
6、变换,从(2.4.7)得到,则，方程的参数形式通解为,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),若,有实根,则,也是方程的解。,关键,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,令,通解为,特殊情形,若,有实根,则,也是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解,令,则 由方程，得,从而,于是,求解方程,例4,通解为,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,例
7、5,求解方程,解,把,代入原微分方程,令,得,由此得,且,方程的参数形式的通解为,此外,也是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,练习,求解方程,注意观察方程的解的特点,解,通解,奇解,克莱洛方程 Clairant Equation,作业: P.59 第 1, 3, 4题,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,三 利用变量代换的微分方程积分法,有时方程,就,都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用,适当的参数
8、外，还可以先进行适当的变量代换后再,求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。,但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律,需要在做大量的练习中积累经验.,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解,令,则,代入原方程，得,即,克莱洛方程,通解,奇解,例6,求解方程,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,解,则,令,于是,代入原方程，得,例7,的通解.,求方程,克莱洛方程,通解,奇解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,