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1、一、随机变量方差的定义及性质,三、例题讲解,二、常见概率分布的方差,四、矩的概念,第3.2节 随机变量的方差和矩,五、小结,1. 方差的定义 (定义3.3),一、随机变量方差的定义及性质,方差描述了随机变量X取值对于数学期望的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2. 方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3. 随机变量方差的计算,(1) 利用定义计算,证明,(2) 利用公式计算,证明,4. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是
2、一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,推广,(6)契比雪夫不等式,证明,对连续型随机变量的情况来证明.,契比雪夫不等式,契比雪夫,得,1. 两点分布,则有,二、常见概率分布的方差,2. 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为,3. 泊松分布,则有,所以,4. 均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,5. 指数分布,则有,6. 正态分布,则有,分布名称,参数,数学期望,方差,分 布,参数,数学期望,方差,解,三、例题讲解,例1,于是,例3.15 在每次试验中,事件
3、A发生的概率为0.5. (1)利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400 500之间的概率;,(2)要使A出现的频率在0.35 0.65之间的概率不小于0.95,至少需要多少次重复试验? 解: 设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数, 则 X B(1000,0.5), E(X)=10000.5=500,D(X)=10000.50.5=250, 于是由切比谢夫 不等式得,(2)设需要做n次独立试验,则X B(n,0.5),求n使得 成立,由切比谢夫不等式得 故至少需要做223次独立试验.,四、矩的概念,定义3.4,定义3.5,2. 说明,五、小结,1. 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量. 如果D(X)值大,表示X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果D(X)值小, 则表示X 的取值比较集中, 以E(X) 作为随机变量的代表性好.,2. 方差的计算公式,3. 方差的性质,4. 契比雪夫不等式,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia,契比雪夫资料,解,例1,备份题,解,例2,因此有,证明,例3,故得,解,例5,解,例6,