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1、选修41 几何证明选讲,第一节 相似三角形的判定及有关性质,一、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ,相等,平分第三边,平分另一腰,二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 ,成比例,成比例,三、相似三角形的判定及性质 1判定定理,2.性质定理,1在RtABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与ABC相似，则x的值为( ) A1 B2
2、C3 D4 解析：由题意知，ACD和CBD与ABC相似，故x2. 答案：B,2(课本习题改编)如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且 2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是( ),答案：C,3如图，F为ABCD的边AD延长线上的一点，DFAD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF16，GF12，则BE的长为( ) A6 B8 C12 D15 解析：由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8，故选B. 答案：B,4(课本习题改编)如图，ABEMDC.AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_ 解析： E为AD的中点，M为BC的中点 又EFBCEF
3、MC12 cm. BC2MC24 cm. 答案：24 cm,5(2012年湖南十二校联考)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD ，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF_.,解析：连接DE，可知AED为直角三角形，则EF是RtDEA斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为 .,考向一 平行线分线段成比例定理的应用 例1 如图，ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB4AF，EH8，求DF的长,1(2013年天津武清模拟)如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则D
4、E_.,答案：6,考向二 相似三角形的判定及性质的应用 例2 (2013年大连四校联考)如图，设M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于点F，EM交BD于点G. (1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； (2)设45，AB4，AF3，求FG的长,解析 (1)依题意可知AMEMFE，BMDMGD，AMFBGM. AMFBD，BGMDMED， 又BADME， AMFBGM，AMFBGM.,2如图，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AFADAGBF. 证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABDC，ADBC. 所以
5、ABFGCF，GCFGDA. 所以ABFGDA. 从而有 ， 即AFADAGBF.,考向三 射影定理的应用 例3 如图，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明： (1)ABACBCAD； (2)AD3BCCFBE.,证明 (1)在RtABC中，ADBC， SABC ABAC BCAD. ABACBCAD. (2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得 BD2BEAB， 同理CD2CFAC， BD2CD2BEABCFAC. 又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC， AD4BEABCFAC，又ABACBCAD. 即AD3BCCFBE.,【创新探究】 巧构相
6、似三角形求面积之比 【典例】 (2011年高考广东卷)如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_,【思路导析】 延长线段AD与BC构造相似三角形，利用相似三角形的性质定理求解 【解析】 将线段AD与BC延长交于点H(如图所示)根据相似三角形面积之比等于相似比的平方， 可得 ， 故梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为75. 【答案】 75,【高手支招】 借助图形判断三角形相似的方法： (1)有平行线的可围绕平行线找相似； (2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边,(2011年高考陕西卷)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则AE_. 答案：2,本小节结束 请按ESC键返回,