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1、选修系列4高考举例,选修系列4高考举例,选修系列4高考举例,普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-1 几何证明选讲 简 介,一、内容与要求,1复习相似三角形的定义与性质，了解平 行截割定理，证明直角三角形射影定理。 2证明圆周角定理、圆的切线的判定定理 及性质定理。 3证明相交弦定理、圆内接四边形的性质 定理与判定定理、切割线定理。,4了解平行投影的含义，通过圆柱与平面 的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆 柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。 5通过观察平面截圆锥面的情境，体会圆 锥曲线的来历，并能证明交线为椭圆时的一 些几何性质（如椭圆的焦点、准线、离心率 e，等等。）,主要内容及培养
2、的能力,复习相似图形的性质。 证明一些反映圆与直线关系的重要定理。 进一步探索圆锥曲线的性质。 提高学生空间想象能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。,二、课时安排及说明,1本专题分三讲，共18课时，具体分配如下（供参考）： 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 约课时 第二讲 直线与圆的位置关系 约课时 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 约课时 学习总结报告 约课时,（1）三讲的内容相对独立，每一讲的内容自成体系，都依托于自身的逻辑起点而展开,2对内容安排的几点说明,一、平行线等分线段定理 二、平行线分线段成比例定理 三、相似三角形的判定及性质 四、直角三角形的射影定理,第一讲以“平行
3、线分线段成比例定理”为起 点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相 似三角形的判定定理、性质定理等等。其 中，基本数学思想方法是比例及其性质的 应用。,第二讲以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为 起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出 圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其 证明，圆的切线的性质和判定的有关定理。,一、圆周角定理 二、圆内接四边形的性质与判定定理 三、圆的切线的性质及判定定理 四、弦切角的性质 五、与圆有关的比例线段,第三讲以“平行射影”为起点，充分利用图形 直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合 几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中 没有涉及的内容。,一、平行射影 二、平面与圆
4、柱面的截线 三、平面与圆锥面的截线,例如，在讨论“与圆有关的比例线段”（相 交弦定理、割线定理、切割线定理）时， 用到了相似三角形的判定定理；证明第三 讲中的定理1、定理2时，用到了切线长定 理这样就形成了一个系统的知识系这 个系统中的知识点，由逻辑关系相互关联 而形成紧密的联系。,（2）三讲内容有紧密的逻辑联系,三、编写中考虑的几个问题,1突出数学思想方法的渗透和理解 本专题中的主要数学思想方法包括：特殊化思想方法、化归思想方法、分类思想方法、运动变化思想方法，涉及到观察、实验、猜想等合情推理的方法，也涉及到演绎推理、反证法、同一法等逻辑推理的方法,首先，通过一组实例，采用“操作确认”的方法
5、，让学生在观察、测量的基础上用合情推理发现结论，得出猜想。这个过程渗透了从特殊到一般、化归等方法。,案例1 平行线等分线段定理 平行线分线段成比例定理,案例2 弦切角 在获得平行线等分线段定理的猜想后，分如下步骤进行证明： 先讨论特殊情形直线构成平行四边形； 再讨论一般情形将一般情形化归为特殊情形。 在获得“等分”情形下的证明后，再推广到“非等分”，即“成比例”的情形。而平行线分线段成比例定理的证明采用“非等分”化归为“等分”的方法。,先用运动变化思想，从圆内接四边形运动到极端情形（有两个顶点重合），由“圆内接四边形的外角等于它的内对角”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”。 再用分类思想
6、，把弦切角分为三类（以弦过圆心为分界点），先证明弦过圆心时命题成立，再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形。,案例2 弦切角定理,2强调知识的发生发展过程，培养学生的数学探究能力,在融合知识的发生发展过程和学生的认知过程的基础上，通过展示“过程”，引导学生领悟定理产生的背景，经历知识发展的过程，从而提高学生观察问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生的数学探究能力。,案例3 圆内接四边形的性质与判定定理,类比“任意三角形都有外接圆”，提出“任意四边形是否都有外接圆”的问题引发思考。 引导学生从正方形、矩形等特殊四边形出发，考察内接于圆的四边形会有怎样的共同特征，得出圆内接四边形性质的猜想和证明
7、。 考察其逆命题是否成立，即证明圆内接四边形的判定定理。,编写特点： 知识的发生是在类比“任意三角形都有外接圆”而提出的，做到了自然而水到渠成； 从性质到判定，因有较多的条件可用，易于发现四边形内接于圆时的特征，方向性好； 性质定理的考察中，运用了从特殊到一般的思路； 判定定理的证明要同时用到分类讨论和反证法，教科书采取启发式讲授法，先讲证明，再归纳总结思想方法； 让学生独立证明判定定理的推论。,3加强推理能力的培养,推理包括逻辑推理与合情推理 措施： 加强几何定理的产生过程，使合情推理的成分得到有效渗透，在得到几何定理的猜想中训练合情推理能力； 给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程示范，让学
8、生有学习和模仿的范例； 及时总结和概括推理的思想方法，如分析法、综合法、反证法、同一法等，以及分类思想、化归思想、猜想与证明、从特殊到一般等等。,4加强几何直观能力的培养,强调在直观图形背景中的直观思考，给学生提供观察图形、建立联系、获得几何定理猜想的基础； 强调运动变化过程中的图形直观，引导学生观察运动过程中图形的不变性； 在从平面到空间的推广过程中，通过图形的变异提供图形直观的机会，加强空间想象能力的培养。,四、对教学的两个建议,1把握教学要求，控制教学难度 主要目的是通过证明一些反映圆与直线关系的重要定理，以及对圆锥曲线性质的探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力，并不是要对几何证明进行全面的复习和提高，因此，教学中一定要注意控制难度，不在几何难题上做文章。,注意根据教科书安排的学习线索，使学生有 机会经历定理的发现过程和证明过程，并要 适时地引导学生总结和概括相应的思想方 法。特别要注意在“研究什么问题”和“如何研 究这些问题”上多做引导。一定要避免为了让 学生多做几个几何证明题而忽视定理的发现 过程的做法。,2加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处,