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1、2 隐函数组,隐函数组概念 隐函数组定理 反函数组与坐标变换,一、隐函数组概念,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,例如, 方程组,隐函数组在 D 上成立恒等式：,二、隐函数组定理,其中,称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,例. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,由题设,故有,类似地可计算:,答案:,三、反函数组与坐标变换,设函数组,是定义在 x y 平面点集 B 上的两个函数，其值域为,若对每一点,都有唯一确定的点,与 u , v 一起满足方程组，由此产生,上的一个函数组：,称方程组为方程组的反函数组.,它们满足：,定义
2、在,反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性,反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性,应用定理 18.4 ，可得下述定理：,问题的一种特殊情形，将方程组改写成,反函数组的存在性,例2: 直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为,所以，除原点外,由于,从而，除原点外，在一切点上由函数组：,可确定一反函数组：,例3: 直角坐标与球坐标之间的坐标变换公式为,由于,所以，在,即除去 z 轴上的一切点，,方程组,可确定一反函数组：,例. 设函数,在点(u,v) 的某一,1) 证明函数组,( x, y) 的某一邻域内,2) 求,解: 1) 令,对 x , y 的偏导数.,在与点 (u, v) 对应的点,邻域内有
3、连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对 x 求导, 得,则有,由定理 3 可知结论 1) 成立.,2) 求反函数的偏导数.,从方程组解得,同理, 式两边对 y 求导, 可得,从方程组解得,同理, 式两边对 y 求导, 可得,例: 计算极坐标变换,的反变换的导数 .,同样有,所以,由于,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;,方法2. 利用微分形式不变性 ;,方法3. 代公式,思考与练习,设,求,提示:,解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,由d y, d z 的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,1. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,(2001考研),解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,(99考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,