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1、隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐函数组的一般思想, 又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.,11.2 函数行列式,三、反函数组与坐标变换,一、隐函数组概念,二、隐函数组定理,一、隐函数组概念,设有一组方程,则称由 (1) 确定了隐函数组,之对应, 能使,其中 定义在 若存在,并有,关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的,m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详,细讨论,首先来看看, 若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐,足何种条件呢?,不妨先设 都可微, 由复合求导法, 通过对 (1),分别求关于 x 与关于 y 的偏导数
2、, 得到,能由 (2) 与 (3) 惟一解出 的充要,条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即,由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且,其中 是满足 (1) 的某一,初始点, 则由保号性定理， 使得在此邻域,内 (4)式成立,根据以上分析, 便有下述隐函数组定理.,雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ）,定理 11.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数,F 与 G 满足下列条件：,(i) 在以点 为内点的某区域,上连续；,(ii) (初始条件);,(iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数；,(iv),二、隐函数组定理,即有,则有
3、如下结论成立：,且满足,使得,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数, 且有,本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函,数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:, 由方程组 (1) 的第一式 确定隐,函数, 将 代入方程组(1) 的第二式, 得, 再由此方程确定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,通过详细计算, 又可得出如下一些结果:,例1 设有方程组,试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函,数组？并计算各隐函数在点 处的导数.,解 易知点 满足方程组 (5) . 设,它们在 上有连续的各阶偏导数. 再考察,在点 关于所有变量的雅可比矩阵,由于,因此由隐函数组定理可知, 在点 近
4、旁可以惟一,地确定隐函数组:,但不能肯定 y , z 可否作为 x 的两个隐函数.,运用定理 11.4 的结论 , 可求得隐函数在点 处,的导数值:,*注 通过详细计算, 还能求得,这说明 处取极大值, 从而知道,在点 的任意小邻域内, 对每一个 x 的值, 会有,多个 y 的值与之对应. 类似地, 对每一个 x 的值,也会有多个 z 的值与之对应. 所以方程组 (5) 在点,近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组.,例 2 设函数 具有连续的偏导数,是由方程组,所确定的隐函数组. 试求,解 设 则有,由此计算所需之雅可比行列式:,于是求得,注 计算隐函数组的偏导数 ( 或导数 ) 比较
5、繁琐,要学懂前两例所演示的方法 ( 利用雅可比矩阵和,雅可比行列式 ), 掌握其中的规律. 这里特别需要,“ 精心细心耐心 ”.,三、反函数组与坐标变换,设有一函数组,它确定了一个映射 ( 或变换 ) :,写成点函数形式, 即为 并记 的,象集为 现在的问题是: 函数组 (6) 满足,何种条件时, 存在逆变换 即存在,亦即存在一个函数组,使得满足,这样的函数组 (7) 称为函数组 (6) 的反函数组. 它,的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.,为此, 首先把方程组 (6) 改写为,然后将定理 18. 4 应用于 (8) , 即得下述定理.,定理 11. 5 (反函数组定理) 设 (6)
6、 中函数在某区域,上具有连续的一阶偏导数, 是,的内点, 且,则在点 的某邻域 内, 存在惟一,此外, 反函数组 (7) 在 内存在连续的一阶,的一组反函数 (7) , 使得,偏导数; 若记,则有,同理又有,由 (9) 式进一步看到:,此式表示: 互为反函数组的 (6) 与 (7) , 它们的雅,可比行列式互为倒数, 这和以前熟知的反函数求,导公式相类似. 于是可把一元函数的导数和函数,组 (6) 的雅可比行列式看作对应物.,例3 平面上点的直角坐标 与极坐标 之,间的坐标变换为,试讨论它的逆变换.,解 由于,因此除原点 (r = 0) 外, 在其余一切点处, T 存在,逆变换,例4 空间直角
7、坐标 与球坐标 之间,的坐标变换为 ( 见图115 ),由于,因此在 ( 即除去 Oz 轴上的一切点 ) 时,存在逆变换,例5 设有一微分方程 (弦振动方程) :,其中 具有二阶连续偏导数. 试问此方程在,种形式?,解 据题意, 是要把方程 (10) 变换成以 u, v 作为自,变量的形式. 现在按此目标计算如下: 首先有,故 T 的逆变换存在, 而且又有,依据一阶微分形式不变性, 得到,并由此推知,继续求以 u, v 为自变量的 与 的表达式:,最后得到以 u, v 为自变量的 微分方程为,1. 验证: 定理 11.4 的结论 可以写成,2. 验证: 由定理 11.5 的 (9) 式 (课本中为 (13) 式),可以推得,复习思考题,