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1、青岛科技大学 信息与计算科学专业基础课程,数学分析,主讲：李博 苏鸿雁,青岛科技大学,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,下页,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题
2、 ,作图法,下页,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,华罗庚,下页,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到
3、其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,下页, 什么是数学分析? “数学分析”是数学、信息与计算科学专业等综合院校最主要的专业基础课之一，其内容不但是数学理论的基础，而且是现代科学的基石。,下页,a. 数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数,b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除),连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念). 连续量的运算体系及其数学理论 (微积分),c. 两种体系的区别. 初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念),绪 论,下页,初、高中：
4、从填鸭式 启发式, 以教师为主, 强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 个人自发, 以学生本身为 主，教师引导。,e. 微积分的发展历史 15世纪以前是它的概念的萌芽时期，主要是阿基米德（Archimedes 公元前287212)的穷竭法和刘徽的割圆术,d. 学习方法的不同,下页,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已
5、知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,下页,数学基本完成时期，也是变量数学的酝酿时期, 微积分正式进入了酝酿阶段,16世纪前后约200年的时间是古已有之的常量,17世纪上半叶，微积分的奠基工作在紧锣密鼓,地进行着，最主要的先驱有法国的帕斯卡（Pascal,1623-1662)和费马（Fermat 16011665）， 英国,16301677）,的瓦里士（ Wallis 16161703）和 巴罗（Barrow,下页,莱布尼兹Leibniz (1646-1716)在前人的基础上创,18世纪是关于微积分的基础的讨论和研究,19世纪，从形式演算 严格的科学体系，,17世
6、纪下半叶，牛顿（Newton 1642-1727)和,立了微积分及其演算体系,的时期,波尔察诺（Bolzano 1781-1848），,下页,实数理论为基础 演算体系极限概念刻划 基石：实数连续统,学习目的： 掌握微积分，极限，实数 连续 统的概念 和方法，更主要的是，培养自己的积极思考 问题和解决问题的能力。,微积分是以极限论作为基础，而极限论又以,下页,定了严格的分析学基础，,戴德金 （Dedekind 1831-1916） 和康托 （Cantor 1845-1918）等1872年建立了严格的 实数系理论微积分严密化的任务终于在 他们手中完成了,哥西 (Cauchy 1789- 1857)
7、，维尔斯特拉斯,（Weierstr-ass 1815-1897）等数学家给出了,分析学一系列基本概念的精确定义，从而奠,下页, 参考书目： 1 数学分析高等教育出版社，刘玉琏、刘伟等著 2 数学分析习题课讲义(共2册) 谢惠民等著 3. 数学分析习题集前苏联吉米多维奇著 4. 数学分析华东师范大学著,下页,1 掌握函数的概念及表示方法； 2 理解函数的单调性、有界性、奇 偶性、周期性等基本性质； 3 理解复合函数、反函数、基本初 等函数、初等函数等概念。,第一章 变量与函数,教学目标：,下页,第一篇极限论 第一部分极限初论 第一章 变量与函数, 主要内容： 1. 函数的概念 2. 复合函数和反
8、函数 3. 基本初等函数,下页,一、变量,1. 函数的概念,1、常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,常量与变量的表示方法：,通常用字母a, b, c等表示常量,用字母x, y, t 等表示变量.,下页,2.,有理数和无理数,有理数:,实数的性质:,(a) 实数与数轴上的点一一对应.,(b) 有理数和无理数在实数中都是稠密的.,(c),下页,集合,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,附注：,下页,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关
9、系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,下页,3、区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,下页,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,下页,4、邻域:,下页,二、函数（特殊的映射）,例 圆内接正多边形的周长,下页,称为一元函数，简称函数. 记作:,自变量,例如,点集,称为函数,y = f(x) 的图形.,因变量,自变量,定义域,1 .定义,下页,函数的两要素:,定义域与对应法则.,注: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数
10、值.,下页,注：函数的相等与不等,注：分清和“函数值的相等与不等”。,下页,关于函数定义的几点说明:,下页,下页,2、函数的表示,(1)分段表示,设 A, B 是两个互不相交的实数集合，,是分别定义在集合A和集合B上的函数，则,是定义在集合,这样的表示方法,称为函数的分段表示.,下页,下页,也定义为：,通过方程 F(x , y) =0 来确定的变量x与y之间函数,关系的方式称为函数的隐式表示.,下页,(2)隐式表示,或称,例1. 函数有时可由方程确定. 如,下页,(3)参数表示,通过建立变量 t 与 x，t 与 y之间的函数关系，间接,的确定 x 与 y 之间的函数关系.,即,这种表示法称为函
11、数的参数表示.,下页,(1) 符号函数,3、几个特殊的函数举例,下页,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,下页,阶梯曲线,下页,(3) 狄利克雷函数(Dirichlet),下页,(4) 取最值函数,下页,1函数的单调性:,三、函数的一些几何特性,下页,下页,2函数的奇偶性:,下页,3函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,下页,4、有界性,定义 若存在两个常数m和M, 使函数,y =f (x),则称函数 f 在 D上有界. 其中 m 是它的下界，,M 是它的上界. 否则称无界,下页,下页,例2,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期
12、),不是单调函数,下页, 小 结,函数的概念，函数的表示，几个特殊函数,函数的特性：有界性,单调性,奇偶性,周期性,常量与变量,下页, 思考题,下页,思考题解答,设,则,故,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,下页,返回,二、 映射,1. 映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,下页,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,下页,定义1：,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x
13、在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,下页,例1.2.1 设X是平面上所有三角形的全体，Y是平面上所有圆的全体，因每个三角形都有唯一确定的外接圆，若定义对应规则,是三角形,的外接圆）,则,显然是一个映射，其定义域与值域,分别为,和,例1.2.2 记,且,下面所规定的对应关系,也是一个映射：,下页,2）映射要求元素的象必须是唯一的.,例1.2.3设,
14、则对应关系,是一个映射,3）映射并不要求逆象也具有唯一性.,例1.2.4 设,是一个映射,下页,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2, 3,引例2,引例2,下页,例1.2.5,海伦公式,例1.2.6,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例1. 2.7,如图所示,则有,(满射),(满射),下页,X (数集 或点集 ),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为
15、函数,映射又称为算子.,名称. 例如,下页,2. 逆映射与复合映射,(1) 逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射 .,下页,(2) 复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,下页,和,那就可以构造出一个新的映射,称为 f 和 g 的复合映射.,定义：,下页,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,下页,于是,若,则:,下页,特别,通过复合运算，可得到恒等式,例1.2.9,它的逆映射是,是双射，,下页,作业,P15(12)、（16）、（23） P21（1）、（4）、（6）、（7） P29（1）、（5）、（10）、（11）,好 好 学 习 天 天 向 上,The Class is over. Goodbye!,