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1、第一章集合与函数概念1.1集合1.1.3集合的基本运算(第一课时)学习目标理解两个集合的并集与交集,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确,进一步提高类比的能力;通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加”呢?问题2:请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?(1)A=1,3,5,B=2,4,6,C=1,2,3,4,5,6;(2)A=
2、x|x是有理数,B=x|x是无理数,C=x|x是实数.二、自主探索,尝试解决从以下几方面进行探究:通过问题2中集合A,B与集合C之间的关系,类比实数的加法运算,你发现了什么?用文字语言来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.用数学符号来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.用Venn图来叙述问题2中集合A,B与集合C之间的关系.三、信息交流,揭示规律根据同学们的探究讨论结果,得出以下结论:1.集合的并集(1)文字语言:(2)数学符号:(3)Venn图:问题3:请同学们考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?(1)A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8;(2)A
3、=等腰三角形,B=直角三角形,C=等腰直角三角形.2.集合的交集问题4:类比集合的并集,请给出交集其他语言表达形式.符号表示:Venn图表示:四、运用规律,解决问题【例1】设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求AB,AB.【例2】设A=x|-1x2,B=x|1x3,求AB,AB.【例3】设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,aR,若AB=B,求a的值.五、变式演练,深化提高1.A=x|x0,C=x|x10,则AB,BC,ABC分别是什么?2.设A=x|x=2n,nN*,B=x|x=2n,nN,求AB,AB.3.求满足1,2B=1,2,3的集合B的个数.
4、4.设A=-4,2,a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知AB=9,求a.5.已知集合A=x|-2x5,集合B=x|m+1x2m-1,且AB=A,试求实数m的取值范围.六、反思小结,观点提炼同学们互相交流一下本节课学习了哪些知识,涉及了哪些数学思想方法?七、作业精选,巩固提高1.阅读课本P811.2.书面作业必做题:课本P11习题1.1 A组第6,7,8题.选做题:若关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,且AB=-13,求 AB.参考答案三、信息交流,揭示规律1.集合的并集(1)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.(2)C=x|xA,或x
5、B.(3)2.集合的交集符号表示:AB=x|xA,且xB.Venn图表示:四、运用规律,解决问题【例1】解:AB=4,5,6,83,5,7,8=3,4,5,6,7,8.AB=4,5,6,83,5,7,8=5,8.点评:本题主要考查集合的并集和交集.用列举法表示的离散型元素的数的集合,运算时常利用Venn图或直接观察得到结果.本题易错解为AB=3,4,5,5,6,7,8,8.其原因是忽视了集合元素的互异性.解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.【例2】解:将A=x|-1x2及B=x|1x3在数轴上表示出来.如图所示的阴影部分即为所求.由图得AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3,AB=x|-
6、1x2x|1x3=x|1x2.点评:本题主要考查集合的并集和交集.用描述法表示的连续型元素的数的集合,运算时常利用数轴来计算结果.【例3】解:由题意得A=-4,0.AB=B,BA.B=或B.当B=时,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解,则=4(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.当B时,若集合B仅含有一个元素,则=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时,B=x|x2=0=0A,即a=-1符合题意.若集合B含有两个元素,则这两个元素是-4,0,即关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.则有-4+0=-2(a+1),-40=a2-1
7、.解得a=1,则a=1符合题意.综上所得,a=1或a-1.五、变式演练,深化提高1.解:A=x|x0,C=x|x10,在数轴上表示,如图所示,所以AB=x|0x0,ABC=.点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,明确集合中的元素;依据并集和交集的含义,借助直观图(数轴或Venn图)写出结果.2.解:对任意mA,则有m=2n=22n-1,nN*,因nN*,故n-1N,有2n-1N,那么mB,即对任意mA有mB,所以AB.而10B但10A,即AB,则有AB=A,AB=B.3.解:满足1,2B=1,2,3的集合B一定含有元素3,有3,还可含1或2其中一个,有1,3,2,3;还可含
8、1和2,即1,2,3,那么共有4个满足条件的集合B.4.解:因AB=9,则9A,a-1=9或a2=9,a=10或a=3,当a=10时,a-5=5,1-a=-9;当a=3时,a-1=2,不合题意.当a=-3时,a-1=-4,不合题意.故a=10,此时A=-4,2,9,100,B=9,5,-9,满足AB=9.5.分析:由AB=A得BA,则有B=或B,因此对集合B进行分类讨论.解:AB=A,BA.又A=x|-2x5,B=或B.当B=时,有m+12m-1,m2.当B时,观察图:由数轴可得m+12m-1,-2m+1,2m-15.解得2m3.综上所述,实数m的取值范围是m2或2m3,即 m3.点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已知两个集合的运算结果,求集合中参数的取值范围时、由集合的运算结果确定它们的关系,通过深刻理解集合表示法的转换,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题,这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法.要学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.