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1、第二章基本初等函数()2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质(第一课时)学习目标通过实际问题了解指数函数的实际背景;理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是y=
2、2x.情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x年后,机器的价值为原来的y倍,则y与x的关系为y=0.94x.问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?共同点:;不同点:.二、自主探索,尝试解决指数函数的概念:一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.问题2:为什么指数函数对底数有“a0,且a1”的要求呢?三、信息交流,揭示规律问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?研究方法:.研究内容:定义域、值域、.问题4:如何来画指数函数的图象呢?画函数图象通常采用:、.有时,
3、也可以利用函数的有关性质画图.问题5:画出指数函数y=2x,y=(12)x的图象并观察图象有什么特征?问题6:函数y=2x与y=(12)x的图象有什么关系?能否由y=2x的图象得到y=(12)x的图象?问题7:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?问题9:从特殊到一般,指数函数y=ax(a1)有哪些性质?并类比得出y=ax(0a0且a1)的图象和性质如下表所示:a10a0,且a1)的图象经过点(3,),求f(0),f(1),f(-3)的值.【
4、例2】指出下列函数哪些是指数函数.(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a12,且a1).五、变式演练,深化提高1.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a=.2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是()A.|a|1B.|a|2C.a2D.1|a|0,且a1)对于任意的实数x,y都有()A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)4.函数f(x)=ax与g(x)=a
5、x-a的图象大致是()5.若a1,-1b1)的图象是()六、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点:、和.2.研究步骤:定义图象性质应用.3.思想方法:、.七、作业精选,巩固提高1.课本P59习题2.1A组第6,9题;2.课本P60习题2.1B组第3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:共同点:变量x与y构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数不同点:底数的取值不同二、自主探索,尝试解决问题2:若a=0,当x0时,ax恒等于0,没有研究价值;当x0时,ax无意义;若a
6、0且a1.三、信息交流,揭示规律问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质研究内容:图象单调性奇偶性问题4:列表描点连线问题5:函数y=2x的图象位于x轴的上方,向左无限接近 x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y轴交于(0,1)点.函数y=(12)x的图象位于x轴的上方,向右无限接近x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是下降的,与y轴交于(0,1)点.问题6:y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称.实质是y=2x上的点(-x,y)与y=(12)x上的点(x,y)关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.问题7:分别取
7、a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x,y=(13)x,y=4x,y=(14)x的图象.可用多媒体画出y=3x,y=(13)x,y=4x,y=(14)x的图象如下:问题8:底数分a1和0a1两种情况.问题9:R(0,+)(0,1)RR四、运用规律,解决问题【例1】解:因为f(x)=ax的图象经过点(3,),所以f(3)=,即a3=,解得a=13,于是f(x)=x3.所以,f(0)=0=1,f(1)=13=3,f(-3)=-1=1.【例2】解:(1)(5)(8)为指数函数;(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习);(3)是-1与指数函数4x的乘积;(4)底数-40,故不是指数函数;(6)指数不是自变量x,而底数是x的函数;(7)底数x不是常数.除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义.五、变式演练,深化提高1.22.D3.C4.D5.B6.B六、反思小结,观点提炼1.知识点:指数函数的概念图象性质3.思想方法:数形结合分类讨论