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1、专题突破练(1)函数的综合问题 一、选择题1函数f(x)的零点个数为()A3 B2 C7 D0答案B解析解法一:由f(x)0得或解得x2或xe因此函数f(x)共有2个零点解法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点故选B2已知A(2,5),B(4,1),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为()A B1 C D答案C解析由题意,得线段AB:y1(x4)y2x9(2x4),所以1,当x2时等号成立,即的最大值为故选C3若变量x,y满足|x|ln 0,则y关于x的函数图象大致是()答案B解析由|x|ln 0得y画出图象可知选B4(2018贵阳模拟)已知函数f(x)是定义
2、在R上的奇函数,当x0时,f(x)log2(2x)1,则f(6)()A2 B4 C2 D4答案C解析因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)f(x)而在x0时,f(x)log2(2x)1,所以f(6)f(6)log2(26)1(log281)2故选C5(2018唐山模拟)已知偶函数f(x)在0,)上单调递减,若f(2)0,则满足xf(x)0的x的取值范围是()A(,2)(0,2) B(2,0)(2,) C(,2)(2,) D(2,0)(0,2)答案A解析因为f(x)是偶函数且在0,)上单调递减,所以f(x)在(,0上单调递增,又f(2)0,所以f(2)0,即在区间(,2)和(2,)上,f(x)
3、0;在区间(2,2)上,f(x)0,所以xf(x)0等价于和即得x2或0xf(3x6)成立的x的取值范围是()A(,2)(3,) B(2,3)C(,2) D(3,)答案A解析易得函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)1为单调增函数,故函数f(x)在R上为增函数,依题意得x22x3x6,解得x3故选A7(2018佛山质检一)已知函数f(x)则下列函数为奇函数的是()Af(sinx) Bf(cosx)Cxf(sinx) Dx2f(cosx)答案C解析易知f(x)为偶函数,即满足xR,f(x)f(x)恒成立研究g(x)xf(sinx),g(x)xfsin(x)xf(sinx)xf(s
4、inx)g(x),故g(x)xf(sinx)为奇函数故选C8(2019青岛质检)已知ab1,则下列结论正确的是()Aaabb Baln bbln aCaln abln b Dabba答案C解析取ae,b,则B项明显错误;对于D项,若abba成立,则ln abln ba,则bln aaln b,由B项错误得D项错误;因为ab1,所以ln aln b0,由同向不等式相乘得aln abln b,进一步得ln aaln bb,所以aabb,所以A项错误,C项正确故选C9若x,yR,且满足则xy()A4 B3 C3 D4答案B解析函数f(t)t32018t(tR)是奇函数,且在R上是增函数,故若f(u)
5、f(v)0,则必有uv0,本题中,ux4,vy1,x4y10xy3故选B10(2018长沙统考)函数f(x)2x的图象大致为()答案A解析f(x)2x2x1,其定义域为(,1)(1,)令u(x)2x,v(x)由于u(x)和v(x)都在(,1)和(1,)上单调递增,所以f(x)在(,1)上和(1,)上单调递增,排除C,D;又当x趋向负无穷时,2x趋近于0,趋近于0,所以f(x)接近于1,所以选A11(2018大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0,)时,f(x)0若afln ,bfln ,cf(e01),则a,b,c的大小关系为()Abac Bbca Ccab Dacb答案C解析依
6、题意,有f(x)在0,)上单调递减,而且f(x)是定义在R上的奇函数,则由其图象知f(x)在(,0上单调递减,从而奇函数f(x)在R上单调递减则由ln ln 1ln ln 1,e010,知ln ln fln f(e01),即ca0在区间1,4内有解,则实数a的取值范围是_答案(,2)解析不等式x24x2a0在区间1,4内有解等价于a(x24x2)max,令g(x)x24x2,x1,4,g(x)g(4)2,a0)的图象关于直线yx对称,若g(a)g(b)3(其中a0且b0),则的最小值为_答案9解析依题意可知g(x)3x,g(a)g(b)3a3b3ab3即ab1,(ab)59当且仅当a,b取“”
7、16如图,在第一象限内,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数ylogx,yx,yx的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标是2,则点D的坐标是_答案,解析由2logx可得点A,2,由2x可得点B(4,2),因为4,所以点C的坐标为4,所以点D的坐标为,三、解答题17(2018湖北荆州摸底)已知定义在(0,)上的函数f(x),满足f(mn)f(m)f(n)(m,n0),且当x1时,有f(x)0(1)求证:ff(m)f(n);(2)求证:f(x)在(0,)上是增函数;(3)比较f与的大小解(1)证明:f(m)fff(n),ff(m)f(n)(2)证明:任取x1,x2(0,),且
8、x1x2,则f(x2)f(x1)f0x11,f0,f(x2)f(x1),f(x)在(0,)上是增函数(3)ffffff1,f0,故f18(2018浙江宁波统考)已知函数f(x)log2(x1),g(x)x|xa|(1)若g(x)为奇函数,求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明);(2)对任意x11,),总存在唯一的x22,),使得f(x1)g(x2)成立,求正实数a的取值范围解(1)g(x)为奇函数,g(x)g(x)x(|xa|xa|)0恒成立a0此时g(x)x|x|,在R上单调递增(2)x11,),f(x)log2(x1),f(x1)1,),g(x)当a2时,g(x2)在2,)上单调
9、递增,g(2)42a1,a,a2当2a4时,g(x2)在2,a上单调递减,在a,)上单调递增g(2)42a1,a,2a当a4时,g(x2)在2,上单调递增,在,a上单调递减,在a,)上单调递增g21,2ac时,P,Tx2x10;当1xc时,P,Tx2x1综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T(2)由(1),当xc时,每天的盈利额为0,1xc,当3c6时,T152(6x)15123(当且仅当x3时取等号),Tmax3,此时x3;当1c3时,由T知函数T在1,3上递增,当xc时,Tmax综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最
10、大利润20(2018天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升?(2)若油箱有225升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?解(1)当x64千米/小时时,要行驶100千米需要小时,要耗油6436481195(升)(2)设225升油能使该型号汽车行驶a千米,由题意得,x3x8225,所以a,设h(x)x2,则当h(x)最小时,a取最大值,h(x)x,令h(x)0x80,当x(0,80)时,h(x)0,故当x(0,80)时,函数h(x)为减函数,当x(80,120)时,函数h(x)为增函数,所以当x80时,h(x)取得最小值,此时a取最大值为200所以若油箱有225升油,则该型号汽车最多行驶200千米