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1、第七节抛物线考纲传真1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下与抛
2、物线有关的结论(1)抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径(2)y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x.(3)设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)以弦AB为直径的圆与准线相切通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点
3、在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切( )答案(1)(2)(3)(4)2抛物线yx2的准线方程是( )Ay1 By2Cx1 Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.3(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A. B. C. D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.4(教材改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于(
4、)A9 B8 C7 D6B抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.5(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_y28x或x2y设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.抛物线的定义与应用【例1】设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_4如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的
5、最小值为4.拓展探究(1)若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解(1)由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.(2)由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小
6、值为31.规律方法与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (1)已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为( )A3 B4 C5 D.1(2)动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (1)A(2)y24x(1)由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|P
7、N|的最小值等于|MH|13.(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )Ax2y Bx2y或x2yCx2y Dx212y或x236y(2)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D8(3)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l
8、于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( )Ay2x By29xCy2x Dy23x(1)D(2)B(3)D(1)将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.考法2与抛物线弦长或中点有关的问题【例4】已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解(
9、1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp2，p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)设直线AB的方程为ykx，由得x22kpxp20，x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离
10、等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积. 解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m
11、2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.1(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则( )A5 B6 C7 D8D法一：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故选D.法二：过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y2
12、0，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D.2(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k( )A. B1 C. D2Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.3(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.2法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)
13、，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.4(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.6如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.自我感悟：_