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1、第52讲 抛物线课时达标一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C DC解析 因为点A在抛物线的准线上，所以2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF.故选C.2拋物线y2ax2(a0)的焦点是()A. B.或C. D.或C解析 抛物线的方程化成标准形式为x2y(a0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C.3(2019新乡一中月考)过抛物线y22px(p0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216，则p()A1 B2C3 D4B解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
2、题意可得x1x26，x1x2p8，所以p2.4(2019曲阜一中月考)已知F是抛物线x28y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|()A4 B5C6 D7D解析 因为F是抛物线x28y的焦点，所以F(0,2)，因为抛物线上的点A到x轴的距离为5，所以|AF|57.5(2019河北师大附中月考)已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A1 B2C3 D4D解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23.由抛物线的定义可知|AF|BF|x1x214.由图可知|AF|BF|AB|，所以|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.6
3、(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3C解析 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方得M(3，2)，由MNl得|MN|MF|314，又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为42.故选C.二、填空题7若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为_解析 设点 M(xM，yM)，则即x2xM30，解得xM1或xM3(舍去)故点M到该抛物
4、线焦点的距离为xM1.答案 8在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析 如图所示，线段OA所在的直线方程为yx，其中垂线方程为2xy0，令y0，得x，即F，所以准线方程为x.答案 x9已知点Q(2，0)及抛物线x24y上一动点P(x，y)，则|y|PQ|的最小值为_解析 如图，抛物线焦点F(0，1)，抛物线的准线方程为y1，设点P到准线距离为d，则|y|PQ|d1|PQ|PF|PQ|1|QF|112，所以|y|PQ|的最小值为2.答案 2三、解答题10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线
5、交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的离心率为，抛物线C：x22py(p0)的焦点在双曲线的顶点上(1)求抛物线C的方程；(2)过M(1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解析 (1)双曲线的离心率e，又a0，所以a1，双曲线的顶点为(0,1)，所以抛物线的焦点为(0,1)，又p0，所以1，所以抛物线方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率必存在设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)因为yx2，所以yx，所以切线l1，l2的斜率分别为，当l1l2时，1，所以x1x24.由得x24k
6、x4k0，并(4k)24(4k)0，所以k0.由根与系数的关系得x1x24k4，所以k1，满足，即直线l的方程为xy10.12已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OO12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析 (1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由(1)中的(*)化为y24my80得y1y24m，y1y28.设AB的中点为 M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直线l的方程为xy20或xy20.13选做题(2019郴州一中月考)设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则|的值为()A1 B2C3 D4C解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1x2x33，则|(x1x2x3)3.