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1、作业与测评数学(选修 23A) 第一章 计数原理 11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时作业 1 两个计数原理 知识点一 分类加法计数原理的应用 1.某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则购买方 式共有( ) A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 答案 C 解析 分两类：买 1 本，买 2 本书，各类购书方式依次有 2 种、1 种，故共有 213 种购买方式 2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少 个？ 答案 36 个 解析 解法一 ： 按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别是
2、8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个，3 个，2 个，1 个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的 个数为 8765432136. 解法二：按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类，在每一类中 满足条件的两位数分别是 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个， 所以按分类加法计数原理， 满足条件的两位数的个数为 1234 567836. 知识点二 分步乘法计数原理的应用 3.一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同 走法( ) A8 种 B12 种 C16 种 D24 种 答案 C 解析 从任一个门进有 4 种不同走法
3、，从任一个门出也有 4 种不 同走法，故共有 4416 种不同走法 4现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长 裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( ) A7 B12 C64 D81 答案 B 解析 要完成长裤与上衣配成一套，分 2 步： 第 1 步，选上衣，从 4 件中任选一件，有 4 种不同选法； 第 2 步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法 故共有 4312 种不同的配法. 知识点三 两个原理的综合应用 5.现有高一四个班的学生 34 人， 其中一、 二、 三、 四班分别有 7 人、 8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组 (
4、1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不 同的选法？ 解 (1)分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第 二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法 ； 第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10 种选法 所以，共有不同的选法 N7891034(种) (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中 选一人任组长 所以，共有不同的选法 N789105040(种). (3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中
5、各选 1 人，有 78 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法； 从一、四班学生中各选 1 人，有 710 种不同的选法；从二、三班学 生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人， 有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 910 种不 同的选法 所以，共有不同的选法 N787971089810 910431(种) 6 某单位职工义务献血， 在体检合格的人中， O 型血的共有 28 人， A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人 (1)从中任选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从
6、四种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不同的选法？ 解 从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法； 从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选法； 从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法； 从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法 (1)任选 1 人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选 1 人 去献血” 这件事情都可以完成， 所以用分类加法计数原理， 有 2879 347 种不同的选法 (2)要从四种血型的人中各选 1 人，即从每种血型的人中各选出 1 人后， “各选 1 人去献血” 这件事情才完成， 所以用分步乘法计数原理， 有 287935292
7、 种不同的选法 一、选择题 1已知 x2,3,7，y3，4,8，则 xy 可表示不同的值的个 数为( ) A2 B3 C6 D9 答案 D 解析 分二步：第一步，在集合2,3,7中任取一个值，有 3 种不 同取法 ； 第二步，在集合3，4,8中任取一个值，有 3 种不同取法， 故 xy 可表示 339 个不同的值 2从 1,2，9 这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇 数的不同情形的种数是( ) A6 B9 C20 D25 答案 C 解析 当且仅当偶数加上奇数时和为奇数， 在 1,2， 9 中共有 4 个偶数，5 个奇数，所以所得和为奇数的不同情形的种数是 4520. 3有 5 列火车停
8、在某车站并排的 5 条轨道上，若火车 A 不能停在 第 1 道上，则 5 列火车的停车方法共有( ) A96 种 B24 种 C120 种 D12 种 答案 A 解析 先排第 1 道，有 4 种排法，第 2,3,4,5 道各有 4,3,2,1 种，由 分步乘法计数原理知共有 4432196 种停车方法 4现有 A，B 两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其 中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作 A 种机床，现在要从这三名 工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有( ) A6 种 B5 种 C4 种 D3 种 答案 C 解析 分两类：第一类若不选丙有 21 种选派方法；第二类若选
9、丙，再从甲、乙两人中选一人，有 21 种选派方法，共有 224 种 方法 5设椭圆1 的焦点在 y 轴上，其中 a1,2,3,4,5，b x2 a y2 b 1,2,3,4,5,6,7，则满足上述条件的椭圆个数为( ) A20 个 B24 个 C12 个 D11 个 答案 A 解析 当 a 取 1 时，b 可以取 2,3,4,5,6,7，共 6 种； 当 a 取 2 时，b 可以取 3,4,5,6,7，共 5 种； 当 a 取 3 时，b 可以取 4,5,6,7，共 4 种； 当 a 取 4 时，b 可以取 5,6,7，共 3 种； 当 a 取 5 时，b 可以取 6,7，共 2 种 所以满足
10、上述条件的椭圆个数共有 6543220(个) 二、填空题 6有 4 个同学站成一队，现在要求他们解散重新站队，每个人不 能站在原来的位置上，则不同的站法有_种 答案 9 解析 第一步，任选一人站队，有 3 种站法(因为他不能站在原先 的位置)；第二步，由第一步所站位置原先站的人站队，有 3 种站法； 第三步， 剩下的两人只有 1 种站法， 所以有 3319 种不同的站法 7某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛其中甲、乙、丙 三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运 动员比赛的方式共有_种 答案 2880 解析 分两步安排这 8 名运动员
11、第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排，所 以共有 43224 种方法；第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及 余下的一条奇数号跑道安排，共有 54321120 种 所以安排这 8 人的方式共有 241202880 种 8由 1,2,3,4,5,6,7,8,9 可以组成无重复数字的三位偶数与三位奇数 的个数分别是_个，_个 答案 224 280 解析 当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数 可分步完成 ： 第一步，先排个位，个位上的数只能取 2,4,6,8 中的 1 个，有 4 种取法； 第二步，排十位，从剩余的 8 个数字中取 1 个，有 8 种取法；
12、第三步，排百位，从剩余的 7 个数字中取 1 个，有 7 种取法 所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为 487224. 当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数 可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取 1,3,5,7,9 中 的 1 个，有 5 种取法； 第二步，排十位，从剩余的 8 个数字中取 1 个，有 8 种取法； 第三步，排百位，从剩余的 7 个数字中取 1 个，有 7 种取法 所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为 587280. 三、解答题 9用 1,2,3,4 四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到 大构成数列an (1)这个数列共有多少项？ (2)若 an3
13、41，求 n 的值 解 (1)由题意，知这个数列的项数就是由 1,2,3,4 四个数字组成的 可有重复数字的三位数的个数 由于每个数位上的数都有 4 种取法， 由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为 444 64， 即数列an共有 64 项 (2)比 341 小的数分为两类： 第一类，百位上的数是 1 或 2，有 24432 个三位数； 第二类，百位上的数是 3，十位上的数可以是 1,2,3 中的任一个， 个位上的数可以是 1,2,3,4 中的任一个，有 3412 个三位数 所以比 341 小的三位数的个数为 321244， 因此 341 是这个数列的第 45 项，即 n45. 10某
14、出版社的 7 名工人中，有 3 人只会排版，2 人只会印刷，还 有 2 人既会排版又会印刷，现从 7 人中安排 2 人排版，2 人印刷，有几 种不同的安排方法？ 解 首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印 刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准下面选择“既 会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分 为三类： 第一类：2 人全不被选出，即从只会排版的 3 人中选 2 人，有 3 种 选法；只会印刷的 2 人全被选出，有 1 种选法，由分步乘法计数原理 知共有 313 种选法 第二类：2 人中被选出一人，有 2 种选法若此人去排版，则再从 会排版的 3 人中选 1 人， 有 3 种选法， 只会印刷的 2 人全被选出， 有 1 种选法，由分步乘法计数原理知共有 2316 种选法；若此人去印 刷，则再从会印刷的 2 人中选 1 人，有 2 种选法，从会排版的 3 人中 选 2 人，有 3 种选法，由分步乘法计数原理知共有 23212 种选 法再由分类加法计数原理知共有 61218 种选法 第三类：2 人全被选出，同理共有 16 种选法 所以共有 3181637 种选法