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1、第一章 单元质量测评 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分 满分 150 分， 考试时间 120 分钟 第卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知集合 A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现在从这三个 集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个 含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合( ) A24 个 B36 个 C26 个 D27 个 答案 C 解析 从三个集合中取出两个集合，有 C 3 种取法分别是集 2 3 合 A、B；集合 A、C；集合 B、C. 当取出 A、B 时，从这两个集合各取一个
2、元素，有 C C 12 个 ； 1 41 3 当取出 A、C 时，从这两个集合各取一个元素，有 C C 8 个； 1 41 2 当取出 B、C 时，从这两个集合各取一个元素，有 C C 6 个； 1 31 2 一共可以组成 128626 个集合 2(x3x2x1)(y2y1)(z1)展开后的不同项数为( ) A9 B12 C18 D24 答案 D 解析 分三步 ： 第一步， 从(x3x2x1)中任取一项， 有 4 种方法 ； 第二步，从(y2y1)中任取一项，有 3 种方法；第三步，从(z1)中 任取一项有 2 种方法 根据分步乘法计数原理共有 43224(项)故选 D. 310 名运动员中有
3、 2 名老队员和 8 名新队员，现从中选 3 人参加 团体比赛，要求老队员至多 1 人入选且新队员甲不能入选的选法有 ( ) A77 种 B144 种 C35 种 D72 种 答案 A 解析 分两类， 第一类 ： 有 1 名老队员 2 名新队员， 共有 C C 42 1 22 7 种选法 ； 第二类 ： 3人全部是新队员，共有C 35种选法 ； 于是共有4235 3 7 77 种选法 4 若实数 a2， 则 a102C a922C a8210等于( )2 1 102 10 A32 B32 C1024 D512 答案 A 解析 由二项式定理，得 a102C a922C a8210C ( 1 10
4、2 100 10 2)0a10C (2)1a9C (2)2a8C (2)10(a2)10()10 1 102 101010 2 2532. 5某同学忘记了自己的 QQ 号的后六位，但记得 QQ 号后六位是 由一个 1，一个 2，两个 5 和两个 8 组成的，于是用这六个数随意排成 一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的 QQ 号最多尝试次数 为( ) A96 B180 C360 D720 答案 B 解析 由这 6 个数字组成的六位数个数为180， 即最多尝试 A6 6 A2 2A2 2 次数为 180.故选 B. 6已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项，则展开式中 ( 3 x 1 2
5、3 x) 所有的有理项共有( ) A5 项 B4 项 C3 项 D2 项 答案 C 解析 Tr1C x rCrx，由第 6 项为常数项 ，得当 rr n ( 1 2 3 x) r n ( 1 2) 5 时，0， 得 n10.令kZ， 则 102r3k， 即 r5 n2r 3 102r 3 k，故 k 应为偶数又 0r10，故 k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8. 3 2 故第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，选 C. 7 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里， 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方 法有( ) A10 种
6、 B20 种 C36 种 D52 种 答案 A 解析 分为两类：1 号盒子放入 1 个球，2 号盒子放入 3 个球， 有 C 4 种放球方法；1 号盒子放入 2 个球，2 号盒子放入 2 个球， 1 4 有 C 6 种放球方法 2 4 共有 C C 10 种不同的放球方法 1 42 4 8形如 45132 的数称为“波浪数” ，即十位数字，千位数字均比 与它们各自相邻的数字大， 则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位 “波浪数” 的个数为( ) A20 B18 C16 D11 答案 C 解析 由题可知，十位和千位只能是 4,5 或 3,5，若十位和千位排 4,5，则其他位置任意排 1,2,3
7、，这样的数的个数为 A A 12； 若十位和 2 23 3 千位排 5,3，这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相邻，1,2 在 其余位置上任意排列， 则这样的数的个数为 A A 4.综上， 共有 16 个 2 22 2 9 已知(1x)na0a1xa2x2anxn， 若 a0a1a2an 16，则自然数 n 等于( ) A6 B5 C4 D3 答案 C 解析 令 x1，得 2n16，则 n4.故选 C. 10已知 8展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则 ( xa x) 展开式中各项系数的和是( ) A28 B38 C1 或 38 D1 或 28 答案 C 解析 Tr
8、1(a)rC x82r，令 82r0r4. r 8 T5C (a)41120， a2.当a2时， 各项系数的和为(12)8 4 8 1；当 a2 时，各项系数的和为(12)838. 11 已知直线 axby10(a， b 不全为 0)与圆 x2y250 有交点， 且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( ) A66 条 B72 条 C74 条 D78 条 答案 B 解析 先考虑 x0，y0 时，圆上横、纵坐标均为整数的点有 (1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有 3412 个点的横、纵坐 标均为整数，经过其中任意两点的割线有 C 66(条)，过每一点的切 2 12 线共
9、有 12 条，又考虑到直线 axby10 不经过原点，而上述直线 中经过原点的有 6 条，所以满足题意的直线共有 6612672(条) 12由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相 邻的六位偶数的个数是( ) A72 B96 C108 D144 答案 C 解析 从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C 种方法，将 1 3 其余两个偶数全排列， 有 A 种排法， 当 1,3 不相邻且不与 5 相邻时有 A 2 2 种方法，当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A A 种方法，故满足题意的 3 32 22 3 偶数个数有 C A (A A A )108 个
10、1 32 23 32 22 3 第卷 (非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13若 n的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n 等于 ( 2x3 1 x) _ 答案 7 解析 二项式的通项为 Tr1C (2x3)nr rC 2nrx ， 令 3n r n ( 1 x) r n 3n r0，即 r n，而 rN*.n 为 7 的整数倍，即最小的正数 n 等于 7. 7 2 6 7 14将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分 别赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用 数字作答) 答案 90 解析 先分
11、组，再把三组分配乘以 A 得：A 90 C2 5C2 3C1 1 A2 2 3 3 C2 5C2 3C1 1 A2 2 3 3 种 15 设二项式 6的展开式中 x2的系数为 A， 常数项为 B， 若 B ( xa x) 4A，则 a_. 答案 3 解析 因为二项式 6的展开式中 x2的系数为 AC a215a2； ( xa x) 2 6 常数项为 BC a320a3. 3 6 因为 B4A，所以20a3415a2，所以 a3. 16 如图， 在排成 44 方阵的 16 个点中， 中心 4 个点在某一圆内， 其余 12 个点在圆外，在 16 个点中任取 3 个点构成三角形，其中至少 有 1 个
12、顶点在圆内的三角形共有_个 答案 312 解析 分为三类：3 个顶点在圆内的三角形有 C 4 个；2 个 3 4 顶点在圆内的三角形有 C C 60 个；1 个顶点在圆内的三角形有 C 2 41 10 (C 4)248 个所以至少有 1 个顶点在圆内的三角形共有 460 1 42 12 248312 个 三、解答题(本小题共 6 小题，共 70 分) 17 (本小题满分 10 分)某校高中部， 高一有 6 个班， 高二有 7 个班， 高三有 8 个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动 (1)任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ (2)三个年级各选 1 个班的学生参
13、加社会实践，有多少种不同的选 法？ (3)选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多 少种不同的选法？ 解 (1)分三类：第一类从高一年级选 1 个班，有 6 种不同方法； 第二类从高二年级选 1 个班，有 7 种不同方法 ； 第三类从高三年级选 1 个班，有 8 种不同方法由分类加法计数原理可得，共有 67821 种不同的选法 (2)每种选法分三步 ： 第一步从高一年级选 1 个班， 有 6 种不同方法 ； 第二步从高二年级选 1 个班，有 7 种不同方法 ； 第三步从高三年级选 1 个班，有 8 种不同方法由分步乘法计数原理，共有 678336 种 不同的选法 (3)分
14、三类，每类又分两步第一类从高一、高二两个年级各选 1 个班，有 67 种不同方法 ； 第二类从高一、高三两个年级各选 1 个班， 有 68 种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有 78 种不同的方法，故共有 676878146 种不同选法 18(本小题满分 12 分)已知(12)n的展开式中，某一项的系数x 恰好是它的前一项系数的 2 倍，而且是它的后一项系数的 ，试求展开 5 6 式中二项式系数最大的项 解 二项式的通项为 Tk1C (2k)x，由题意知展开式中第 k1 项 k n 系数是第 k 项系数的 2 倍，是第 k2 项系数的 ， 5 6 Error!Error!解得 n7
15、. 展开式中二项式系数最大两项是： T4C (2)3280x 与 T5C (2)4560x2. 3 7 x 4 7 x 19(本小题满分 12 分)如图所示，在以 AB 为直径的半圆周上， 有异于 A，B 的六个点 C1，C2，C6，直径 AB 上有异于 A，B 的四 个点 D1，D2，D3，D4，则： (1)以这 12 个点(包括 A， B)中的 4 个点为顶点， 可作出多少个四边 形？ (2)以这 10 个点(不包括 A， B)中的 3 个点为顶点， 可作出多少个三 角形？其中含 C1的有多少个？ 解 (1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类 ： 四个点从 C1，C2，C6
16、中取出，有 C 个四边形， 4 6 三个点从 C1， C2， C6中取出， 另一个点从 D1， D2， D3， D4， A， B 中取出有 C C 个四边形， 3 61 6 二个点从 C1， C2， C6中取出， 另外二个点从 D1， D2， D3， D4， A， B 中取出有 C C 个四边形 2 62 6 故满足条件的四边形共 C C C C C 360(个) 4 63 61 62 62 6 (2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C C C C C 3 61 62 42 61 4 116 个其中含点 C1的有 C C C C 36(个) 2 51 51 42 4 20 (本小题满
17、分 12 分)已知(a21)n的展开式中各项系数之和等于 5的展开式的常数项，并且(a21)n的展开式中系数最大的项 ( 16 5 x2 1 x) 等于 54，求 a 的值 解 5展开式的常数项为 C 416. ( 16 5 x2 1 x) 4 5 ( 16 5 x2) ( 1 x) (a21)n展开式的系数之和 2n16， n4. (a21)n展开式的系数最大的项为 C (a2)2126a454， a 2 4 . 3 21 (本小题满分 12 分)已知(12x)na0a1xa2x2anxn(n N*)，且 a260，求： (1)n 的值； (2)(1)n的值 a1 2 a2 22 a3 23
18、 an 2n 解 (1)因为 T3C (2x)2a2x2， 2 n 所以 a2C (2)260， 2 n 化简可得 n(n1)30，且 nN*， 解得 n6. (2)Tk1C (2x)kakxk， k 6 所以 akC (2)k， k 6 所以(1)kC ， ak 2k k 6 (1)nC C C 26163. a1 2 a2 22 a3 23 an 2n 1 62 66 6 22(本小题满分 12 分)已知 n， ( 1 22x) (1)若展开式中第 5 项， 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列， 求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求
19、展开式中系数最大 的项 解 (1)因为 C C 2C ， 4 n6 n5 n 所以 n221n980， 所以 n7 或 n14， 当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. 所以 T4的系数为 C 423 ， 3 7 ( 1 2) 35 2 T5的系数为 C 32470，4 7 ( 1 2) 当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. 所以 T8的系数为 C 7273432.7 14 ( 1 2) (2)因为 C C C 79， 0 n1 n2 n 所以 n2n1560， 所以 n12 或 n13(舍去) 设 Tk1项的系数最大，因为 1212(14x)12， ( 1 22x) ( 1 2) 所以Error!Error!所以 9.4k10.4，所以 k10，所以展开式中系数最 大的项为 T11， T11C 2210x1016896x10.1012 ( 1 2)