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1、第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.2 集合间的基本关系 学习目标 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系, 提高利用类比发现新结论的能力; 在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学生从 具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:实数有相等、大小的关系,如 5=5,53 等,类比实数之间的关系,你能想到集合 之间有什么关系吗? 二、自主探索,尝试解决 问题 2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗? (1)A=1,2,3,B=1,2,3,4,5; (2)
2、设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合; (3)设 A=x|x 是两条边相等的三角形,B=x|x 是等腰三角形; (4)A=2,4,6,B=6,4,2. 三、信息交流,揭示规律 集合间的基本关系: 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说 这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: 读作: 如果 AB,但存在 xB,且 xA,我们就说这两个集合有真包含关系,称集合 A 是集合 B 的 真子集,记作 AB(或 BA). 如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 问题 3:与实数
3、中的结论“若 ab,且 ba,则 a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 问题 4:与实数中的结论“若 ab,且 bc,则 ac”相类比,在集合中,你又能得出什么结论? 为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.如图 1 和图 2 分别是表示问题 2 中(1)和(4)的 Venn 图. 问题 5: (1)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示 这个集合吗? (2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应 该如何命名呢? 四、运用规律,解决问题 【例 1】图中
4、反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间 的关系,则 A、B、C、D、E 分别代表的图形的集合为 . 【例 2】写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 【例 3】已知集合 A=-1,3,2m-1,集合 B=3,m2.若 BA,则实数 m= . 五、变式演练,深化提高 1.已知集合 M=x|2-x2,由于 NM,则 N=或 N, 要对集合 N 是否为空集分类讨论. 解:由题意得 M=x|x2,则 N=或 N. 当 N=时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0; 当 N时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,则 a0,此时 x= , 1 a 又NM,
5、 M. 2. 1 a 1 a 0a . 1 2 综上所得,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0a , 1 2 即实数 a 的取值范围是a|0a 1 2 2.解:(1)的子集有:,即有 1 个子集; a的子集有:,a,即a有 2 个子集; a,b的子集有:,a,b,a,b,即a,b有 4 个子集; a,b,c的子集有:,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,即a,b,c有 8 个子集. (2)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=20个子集; 当 n=1 时,集合 M 有 2=21个子集; 当 n=2 时,集合 M 有 4=22个子集; 当 n=3 时,集合 M 有 8=23个子集; 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n个子集. 3.分析:对集合 A 所含元素的个数分类讨论 解析:A=或2或3或7或2,3或2,7,共有 6 个. 答案:D 点评:本题主要考查子集的概念以及分类讨论思想.写一个集合的子集时,按子集中元素 的个数来写不易发生重复和遗漏现象.