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1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(第二课时) 学习目标 掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性. 启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出 问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:y=x 与 y= 是同一个函数吗? x2 x 二、自主探索,尝试解决 问题 2:指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分? 问题 3:分别写出函数 y=x+1
2、和函数 y=t+1 的定义域和对应关系,并比较异同. 问题 4:函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的值域相同吗? 问题 5:根据问题 3 和问题 4 的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一 定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识? 三、信息交流,揭示规律 函数相等的条件: 四、运用规律,解决问题 【例 1】下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y=()2; x (2)y=; 3 x3 (3)y=.x2 【例 2】判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1; (2)f(x)=x-1,g(x)=;x2
3、- 2x + 1 (3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; (4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1. 【例 3】设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的值域,N 是 函数y=f(u)的定义域,当MN,则y成为x的函数,记为y=fg(x).这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x) 复合而成的复合函数,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层函数.指出下列复合函数的 外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y=; 1 x + 1 (2)y=(x2-2x+3)2; (3)y= + -1
4、. 1 x2 1 x 五、变式演练,深化提高 1.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. y=x-1,xR 与 y=x-1,xN; y=与 y=;x2- 4 x - 2x + 2 y=1+ 与 u=1+ ; 1 x 1 x y=x2与 y=x;x2 y=2|x|与 y= 2x,x 0, - 2x,x 0; y=f(x)与 y=f(u). 是同一个函数的是 (把是同一个函数的序号填上即可). 2.设 f(x)=,则= . x2- 1 x2+ 1 f(2) f( 1 2) 3.函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)=,若 f(1)=-5,则 ff(5)= . 1 f(x) 六、
5、反思小结,观点提炼 大家分组讨论,由各组小组长宣布本组反思结果. 七、作业精选,巩固提高 1.设 M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列四个图形,其中能表示以集合 M 为定义域,N 为 值域的函数关系是( ) 2.某公司生产某种产品的成本为1 000元,以1 100元的价格批发出去,随生产产品数量的 增加,公司收入 ,它们之间是 关系. 3.函数 y=x2与 S=t2是同一函数吗? 参考答案 问题 1:两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同. 问题 2:函数 y=x+1 的构成要素为:定义域 R,对应关系 xx+1,值域是 R. 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的
6、三要素.其中定义域 是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才 相同. 问题 3:两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为 R,xx+1,不同点是变量所用字 母不同. 问题 4:两个函数的值域相同,都是 R. 问题 5:值域一定相同. 三、信息交流,揭示规律 函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函 数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 xx. (1)函数 y=()2的定义域是0,+), x 函数 y=
7、()2与函数 y=x 的定义域不相同. x 函数 y=()2与函数 y=x 不相等. x (2)函数 y=的定义域是 R, 3 x3 函数 y=与函数 y=x 的定义域相同. 3 x3 又y=x, 3 x3 函数 y=与函数 y=x 的对应关系也相同. 3 x3 函数 y=与函数 y=x 相等. 3 x3 (3)函数 y=的定义域是 R,x2 函数 y=与函数 y=x 的定义域相同.x2 又y=|x|,x2 函数 y=与函数 y=x 的对应关系不相同.x2 函数 y=与函数 y=x 不相等.x2 点评:本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判 断两个函数是否是
8、同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相 同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函 数. 【例 2】解:(1)f(x)=(x-1)0的定义域是x|x1,函数 g(x)=1 的定义域是 R, 函数 f(x)=(x-1)0与函数 g(x)=1 的定义域不同. 函数 f(x)=(x-1)0与函数 g(x)=1 不表示同一个函数. (2)f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)=的定义域是 R,x2- 2x + 1(x - 1)2 函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)=的定义域相同.x2- 2x + 1 又g(x)=|x
9、-1|,x2- 2x + 1(x - 1)2 函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)=的对应关系不同.x2- 2x + 1 函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)=不表示同一个函数.x2- 2x + 1 (3)很明显 f(x)=x2和 g(x)=(x+1)2的定义域都是 R, 又f(x)=x2和 g(x)=(x+1)2的对应关系不同, 函数 f(x)=x2和 g(x)=(x+1)2不表示同一个函数. (4)很明显 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的定义域都是 R, 又f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 的对应关系也相同, 函数 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1
10、 表示同一个函数. 【例 3】解:(1)设 y= ,u=x+1(x-1), 1 u 即 y=的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1(x-1). 1 x + 1 1 u (2)设 y=u2,u=x2-2x+3, 即 y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数 y=u2,内层函数是二次函数 u=x2-2x+3. (3)设 y=u2+u-1,u= , 1 x 即 y= + -1 的外层函数是二次函数 y=u2+u-1,内层函数是反比例函数 u= . 1 x2 1 x 1 x 点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、 二次函数复合而成的
11、,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考 查的内容之一,应引起我们的重视. 五、变式演练,深化提高 1.解析:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. 前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; 前者的定义域是x|x-2 或 x2,后者的定义域是x|x2,它们的定义域不同,故不是同 一个函数; 定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同, 故 是同一个函数; 定义域相同,但对应法则不同,故不是同一个函数; 函数 y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函 2x,x 0, - 2x,x 0, 数; 定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数. 答案: 2.-1 3.分析:函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)=, 1 f(x) f(x+4)=f(x+2)+2=f(x). 1 f(x + 2) f(1)=f(1+4)=f(5). 又f(1)=-5,f(5)=-5. ff(5)=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=- . 1 f(1) 1 5 答案:- 1 5