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1、第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时) 学习目标 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定 义判断、证明函数单调性的方法; 通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、 抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力; 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学 生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程. 合作学习 一、设计问题,创设情境 德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbing
2、haus,18501909),他以自己 为实验对象,共做了 163 次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学 一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据. 时间间隔 t0 分钟20 分钟60 分钟 8 9 小时 1 天2 天6 天一个月 记忆量 y (百分比) 100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1% 观察这些数据,可以看出:记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量(时间间隔 t)逐渐增大时, 你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名 的艾宾浩斯曲线).从左向
3、右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这 个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识? 二、自主探索,尝试解决 记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大;以时间间隔 t 为 x 轴,以记忆量 y 为 y 轴建立平面直 角坐标系,描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图所示. 遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚 开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和 记忆. 问题 1:如图所示为一次函数 y=x、二次函数 y=x2和 y=-x2的图象,它们的图象有什么变化 规律?这反映了相应的函数值的哪些变
4、化规律? 问题 2:函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义? 问题 3:如何理解图象是上升的? 问题 4:在数学上规定:函数 y=x2在区间(0,+)上是增函数.谁能给出增函数的定义? 三、信息交流,揭示规律 1.增函数的定义 问题 5:增函数的定义中,把“当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2)”, 这样行吗? 问题 6:增函数的定义中,“当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”,也就 是说前面是“”,后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数. 问题 6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. 2.减函数定义(板书) 一般
5、地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2,当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为:步调不一 致减函数. 减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增 大而减小. 问题 8:函数 y=f(x)在区间 D 上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意 义:从左向右看,图象是上升(下降)的. 四、运用规律,解决问题 【例 1】解:函数 y=f(x)的单调区间是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函数 y=f(x)在区间- 5,2),1,3)上
6、是减函数,在区间-2,1),3,5上是增函数. 点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函 数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调 性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图 象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调 性的几何意义写出单调区间. 【例 2】证明:设 V1,V2(0,+)且 V10,V10,V20. 0,p1p2. k(V2- V1) V1V2 根据减函数的定义知 p= 在(0,+
7、)上是减函数. k V 点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量 x1 和 x2,通常令 x10.f(x1)-f(x2)2m-x2a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又函数 y=f(x)在a,b上是增函数, f(2m-x1)-f(2m-x2)0. f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2). 函数 y=f(x)在区间2m-b,2m-a上是减函数. 当函数 y=f(x)在对称轴 x=m 的一侧一个区间a,b上是增函数时,其在a,b关于直线 x=m 的对称区间2m-b,2m-a上是减函数,即单调性相反. 因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对 称单调区间内具有相反的单调性. 3.解析:f(x)的定义域是(0,+), 解得 a1. 2a 2+ a + 1 0, 3a2- 4a + 1 0. 1 3 f(x)在(0,+)上是减函数, 2a2+a+13a2-4a+1.a2-5a0. 0a5.0a 或 1a5,即 a 的取值范围是(0, )(1,5). 1 3 1 3 答案:(0, )(1,5) 1 3