《2020《创新方案》高考人教版数学（理）总复习练习：第三章 三角函数、解三角形 课时作业25 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020《创新方案》高考人教版数学（理）总复习练习：第三章 三角函数、解三角形 课时作业25 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时作业课时作业 25 解三角形应用举例 解三角形应用举例 1(2019襄阳模拟)如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距 离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60， 则灯塔 A 在灯塔 B 的( D ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 解析：由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所 以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80. 2(2019许昌调研)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察 站 C 的距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20， 灯塔 B 在 观
2、察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与 B 的距离为( B ) Aa km Ba km3 Ca km D2a km2 解析：由题图可知，ACB120， 由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a2 2aa3a2，解得 ABa(km) ( 1 2) 3 3如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并 在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( D ) A5 B1563 C5 D1526 解析：在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得，所以 BC15. BC
3、 sin30 30 sin135 2 在 RtABC 中，ABBCtanACB1515.236 4如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线 上的 A，B，C 三点进行测量，已知 AB50 m，BC120 m，于 A 处 测得水深 AD80 m， 于 B 处测得水深 BE200 m， 于 C 处测得水深 CF 110 m，则DEF 的余弦值为( A ) A B 16 65 19 65 C D 16 57 17 57 解析：如图所示，作 DMAC 交 BE 于 N，交 CF 于 M， 则 DF10(m)，MF2DM23021702298 DE130(m)，DN2EN25021202
4、EF150(m) BEFC2BC29021202 在DEF 中，由余弦定理，得 cosDEF DE2EF2DF2 2DEEF . 13021502102 298 2 130 150 16 65 5地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰 角为 ， 在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 ， 且在两塔底连线的中点 O 2 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( B ) A50 m,100 m B40 m,90 m C40 m,50 m D30 m,40 m 解析：设高塔高 H m，矮塔高 h m，在 O 点望高塔塔顶的仰角为 . 则 tan，tan ， H 120 2 h 1
5、20 根据三角函数的倍角公式有. H 120 2 h 120 1 ( h 120) 2 因为在两塔底连线的中点 O 望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在 O 点望矮塔塔顶的仰角为 ， 2 由 tan，tan，得. H 60 ( 2) h 60 H 60 60 h 联立解得 H90，h40. 即两座塔的高度分别为 40 m,90 m. 6如图所示，一座建筑物 AB 的高为(3010)m，在该建筑物3 的正东方向有一座通信塔 CD在它们之间的地面上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为(
6、 B ) A30 m B60 m C30 m D40 m33 解析：在 RtABM 中，AM AB sinAMB 3010 3 sin15 3010 3 6 2 4 20(m).6 过点 A 作 ANCD 于点 N，如图所示 易知MANAMB15， 所以MAC301545. 又AMC1801560105， 所以ACM30. 在AMC 中，由正弦定理得， MC sin45 20 6 sin30 解得 MC40(m)3 在 RtCMD 中，CD40sin6060(m)，3 故通信塔 CD 的高为 60 m. 7(2019哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角 为 75的斜坡改造成
7、倾斜角为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需 加长 100m.2 解析：设坡底需加长 x m，由正弦定理得， 100 sin30 x sin45 解得 x100 . 2 8如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡 上一段长度为 300 m 且和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两3 个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ 60，则 P，Q 两点间的距离为 900_m. 解析：由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又 PB 为公共边，PABPQB，PQPA 在 RtPAB 中，APABtan60900，故 P
8、Q900， P，Q 两点间的距离为 900 m. 9 (2019湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他 的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有 沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五 里 里法三百步 欲知为田几何” 这道题讲的是有一块三角形的沙田， 三边长分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙 田的面积为 21_平方千米 解析：设在ABC 中，a13 里，b14 里，c15 里， cosC 132142152 2 13 14 1321415 1415 2 13 14 ， 140 2 13 14 5 13 s
9、inC，故ABC 的面积为 13145002 12 13 1 2 12 13 1 1 0002 21(平方千米) 10 海轮 “和谐号” 从 A 处以每小时 21 海里的速度出发， 海轮 “奋 斗号”在 A 处北偏东 45的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北 偏东 105的方向以每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海 轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时 2 3 解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间 为 x 小时，如图， 则由已知得ABC 中， AC10， AB21x， BC9x， ACB120. 由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109
10、xcos120， 整理，得 36x29x100， 解得 x 或 x(舍) 2 3 5 12 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小 2 3 时 11(2019武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器 科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到 空中进行气象观测如图所示，A，B，C 三地位于同一水平面上，这 种仪器在C地进行弹射实验， 观测点A， B两地相距100米， BAC60. 在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚秒 在 A 地测得该仪器至最高 2 17 点 H 处的仰角为 30. (1)求 A，C 两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高
11、度 HC (已知声音的传播速度为 340 米/秒) 解：(1)由题意，设 ACx， 因为在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚秒， 2 17 所以 BCx340x40， 2 17 在ABC 内， 由余弦定理得 BC2CA2BA22BACAcosBAC， 即(x40)2x210 000100x，解得 x420. 答：A，C 两地的距离为 420 米 (2)在 RtACH 中，AC420，CAH30. 所以 CHACtanCAH140米3 答：该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140米3 12如图所示，在一条海防警戒线上的点 A，B，C 处各有一个水 声监测点，B，C 两点到点 A 的距离分别为
12、20 km 和 50 km.某时刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 s 后 A，C 同时接收到该声波 信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 km/s. (1)设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B，C 到 P 的距离，并求 x 的值； (2)求静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离 解：(1)依题意，有 PAPCx，PBx1.58x12. 在 PAB 中 ， AB 20， cos PAB PA2AB2PB2 2PAAB . x2202x122 2x20 3x32 5x 同理，在PAC 中，AC50， cosPAC. PA2AC2PC2 2PAAC x2502x
13、2 2x50 25 x 因为 cosPABcosPAC， 所以，解得 x31. 3x32 5x 25 x (2)作 PDAC 于点 D，在ADP 中， 由 cosPAD，得 25 31 sinPAD，1cos2PAD 4 21 31 所以 PDPAsinPAD314(km) 4 21 31 21 故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 4 km.21 13如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点， 测出四边形 ABCD 各边的长度(单位 ： km)： AB5， BC8， CD 3，DA5，且B 与D 互补，则 AC 的长为( A ) A7 km B8 km C9
14、 km D6 km 解析：在ACD 中，由余弦定理得： cosD. AD2CD2AC2 2ADCD 34AC2 30 在ABC 中，由余弦定理得： cosB. AB2BC2AC2 2ABBC 89AC2 80 因为BD180，所以 cosBcosD0， 即0，解得 AC7. 34AC2 30 89AC2 80 14(2019呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一 些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的 数据如图所示，则该图所示的小区的面积是km2. 6 3 4 解析：如图，连接 AC，由余弦定理可知 AC，AB2BC22ABBCcosB3 故ACB90，CAB3
15、0，DACDCA15，ADC 150， AC sinADC AD sinDCA 即 AD， ACsinDCA sinADC 3 6 2 4 1 2 3 2 6 2 故 S四边形 ABCDSABCSADC 1 2 1 2 3 1 2 ( 3 2 6 2 ) 1 2 (km2) 6 3 4 15(2019福州质检)如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车 在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30，45，且BAC135.若山高 AD100 m，汽 车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为 22.6_m/s(精确到 0.1) 解析：
16、因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30， 45，所以BAD60，CAD45. 设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC14v. 在 RtADB 中，AB200. AD cosBAD AD cos60 在 RtADC 中，AC100. AD cosCAD 100 cos45 2 在ABC 中，由余弦定理， 得 BC2AC2AB22ACABcosBAC， 所以(14v)2(100)220022100200cos135， 所以 v22 22.6， 50 10 7 所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 16 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船 上在小艇
17、出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海 里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假 设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时 与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应 为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行 方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与 轮船相遇，并说明理由 解：(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S900t2400230t20cos9030 .900t2600t400 900(t1 3) 2300 故
18、当 t 时，Smin10，v30. 1 3 3 10 3 1 3 3 即小艇以 30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最3 小 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇如图所示 则 v2t2400900t222030tcos(9030)， 故 v2900. 600 t 400 t2 因为 0v30，所以 900900， 600 t 400 t2 即 0，解得 t .又 t 时，v30， 2 t2 3 t 2 3 2 3 故 v30 时，t 取得最小值，且最小值等于 . 2 3 此时，在OAB 中，有 OAOBAB20. 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时