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1、课时作业 31 等差数列及其前 n 项和 1(2019湖北荆州一模)在等差数列an中，a11，a2a610， 则 a7( A ) A9 B10 C11 D12 解析：在等差数列an中，a11，a2a610， Error!Error! 解得 a11，d ，a7a16d189.故选 A. 4 3 2在等差数列an中，a3，a15是方程 x26x50 的根，则 S17 的值是( B ) A41 B51 C61 D68 解析：由题可得 a3a156， 所以 a1a17a3a156. 所以 S17651. 17a1a17 2 17 2 3 (2019山东菏泽一模)已知在等差数列an中， a11， a32
2、a1， a53a2，若 Sna1a2an，且 Sk66，则 k 的值为( B ) A9 B11 C10 D12 解析 ： 在等差数列中， 第一项、 第三项、 第五项分别为 1,2a1,3a 2， 2(2a1)13a2， 解得 a1， 公差 d 2a11 2 2 1 2 1，Skk1166，解得 k11 或 k12(舍)故选 B. kk1 2 4 (2019江西赣中南五校联考)在等差数列an中， 已知a3a80， 且 S90，则 S1、S2、S9中最小的是( A ) AS5 BS6 CS7 DS8 解析：在等差数列an中，a3a80，S90， a5a6a3a80，S99a50， 9a1a9 2
3、a50，a60，S1、S2、S9中最小的是 S5，故选 A. 5(2019河南信阳模拟)九章算术是我国古代的数学名著，书 中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各 得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙 两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依 次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)， 在这个问题中，甲得 钱( C ) A. B. 5 3 3 2 C. D. 4 3 5 4 解析 ： 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五人所得钱数依次设为成等差数列的 a1， a2， a3， a4， a5， 设公差为 d， 由题意知
4、a1a2a3a4a5 ， 即Error!Error! 5 2 解得Error!Error!故甲得 钱，故选 C. 4 3 6(2019泉州模拟)在各项均为正数的等差数列an中，其前 n 项 和为 Sn， 当 nN*， n2 时， 有 Sn(a a )， 则 S202S10( A ) n n1 2 n2 1 A50 B50 C100 D100 解析：设等差数列an的公差为 d， 则当 n3 时，S3 (a a )， 3 2 2 32 1 即 3a13d (a12d)2 a ， 3 2 3 2 2 1 整理得 a1d2d(a1d)，可得 d ， 1 2 所以 S202S1020a1 20a1109
5、 50，故选 20 19 2 1 2 1 2 A. 7(2019石家庄一模)已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 且 f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为 0 的等差数列， 且 f(a50)f(a51)，则数列an的前 100 项的和为( B ) A200 B100 C50 D0 解析 ： 因为函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 又函数 f(x)在( 1，)上单调，所以 f(x)在(，1)上也单调，且数列an是公差 不为 0 的等差数列又 f(a50)f(a51)，所以 a50a512，所以 S100 50(a50a51)100. 100a1a100 2 8 (20
6、19太原模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， 且 S39， a2a421，数列bn满足1(nN*)，若 bn， b1 a1 b2 a2 bn an 1 2n 1 10 则 n 的最小值为( C ) A6 B7 C8 D9 解析：设等差数列an的公差为 d. S3a1a2a33a29，a2a421， a23，a47，d2，an2n1. 设 Tn1， b1 a1 b2 a2 bn an b1 1 b2 3 bn 2n1 1 2n 则 Tn11，两式作差得 Tn1 b1 1 b2 3 bn 2n1 bn1 2n1 1 2n1 Tn，所以 bn1，则 bn. bn1 2n1 1 2n 1 2
7、n1 1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n 当 bn，即时，得 n 的最小值为 8，故选 C. 1 10 2n1 2n 1 10 9 设数列an的通项公式为 an2n10(nN*)， 则|a1|a2| |a15| 130 . 解析：由 an2n10(nN*)知an是以8 为首项，2 为公差的 等差数列， 又由 an2n100， 得 n5， 当 n5 时， an0， 当 n5 时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6 a15)20110130. 10 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 已知前 6 项和为 36， 最后 6 项的和为 180，Sn324(n6)，则
8、数列an的项数为 18 . 解析：由题意知 a1a2a636， anan1an2an5180， 得(a1an)(a2an1)(a6an5) 6(a1an)216， a1an36，又 Sn324， na1an 2 18n324，n18. 11(2019福建外国语中学调研)已知等差数列an的公差 d0， 前 n 项和为 Sn，且 a2a345，S428. (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn(c 为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求 c 的 Sn nc 值 解：(1)S428，28， a 1a4 4 2 a1a414，则 a2a314， 又 a2a345，公差 d0， a2a3，a25
9、，a39， Error!Error!解得Error!Error!an4n3. (2)由(1)知 Sn2n2n，bn， Sn nc 2n2n nc b1，b2，b3. 1 1c 6 2c 15 3c 又bn是等差数列，b1b32b2， 即 2， 6 2c 1 1c 15 3c 解得 c (c0 舍去) 1 2 12(2019山东济南一中检测)各项均不为 0 的数列an满足 an2an，且 a32a8 . an1 a nan2 2 1 5 (1)证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式； 1 an (2)若数列bn的通项公式为 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn. an 2n6 解 ： (1
10、)证明 ： 依题意， an1anan2an12an2an， 两边同时除以anan 1an2， 可得，故数列是等差数列， 1 an2 1 an 2 an1 1 an 设数列的公差为 d. 1 an 因为 a32a8 ，所以5，10， 1 5 1 a3 1 a8 所以55d，即 d1， 1 a8 1 a3 故(n3)d5(n3)1n2， 1 an 1 a3 故 an. 1 n2 (2)由(1)可知 bn ， an 2n6 1 2 1 n2n3 1 2( 1 n2 1 n3) 故 Sn1 2( 1 3 1 4 1 4 1 5 1 n2 1 n3) . n 6n3 13 (2019湖南永州模拟)已知数
11、列an是等差数列， 前 n 项和为 Sn， 满足 a15a3S8，给出下列结论： a100；S10最小；S7S12；S200. 其中一定正确的结论是( C ) A B C D 解析：a15a3S8， a15a110d8a128d， a19d， ana1(n1)d(n10)d， a100，故一定正确， Snna19nd (n219n)， nn1d 2 nn1d 2 d 2 S7S12， 故一定正确， 显然S10最小与S200 不一定正确， 故选 C. 14若数列an满足1，且 a15，则数列an的 an1 2n5 an 2n3 前 200 项中，能被 5 整除的项数为( B ) A90 B80
12、C60 D40 解析：数列an满足1， an1 2n5 an 2n3 即1，又1， an1 2n13 an 2n3 a1 2 13 数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， an 2n3 n，an2n23n，列表如下： an 2n3 项12345678910 an的个位数5474509290 每 10 项中有 4 项能被 5 整除， 数列an的前 200 项中， 能被 5 整除的项数为 80，故选 B. 15设等差数列an满足 a11，an0(nN*)，其前 n 项和为 Sn， 若数列也为等差数列，则的最大值是 121 .Sn Sn10 a2 n 解析：设数列an的公差为 d， 由题意得
13、2，S2S1S3 因为 a11，所以 2，2a1da13a13d 化简可得 d2a12， 所以 an1(n1)22n1， Snn2n2， nn1 2 所以 22 Sn10 a2 n n102 2n12 ( n10 2n1) 1 22n1 21 2 2n1 2. 1 4(1 21 2n1) 又为单调递减数列， ( 1 21 2n1) 2 所以112121. Sn10 a2 n S11 a2 1 16已知数列an满足，an1an4n3(nN*) (1)若数列an是等差数列，求 a1的值； (2)当 a12 时，求数列an的前 n 项和 Sn. 解：(1)法一：数列an是等差数列， ana1(n1)
14、d，an1a1nd. 由 an1an4n3， 得 a1nda1(n1)d4n3， 2dn(2a1d)4n3， 即 2d4,2a1d3，解得 d2，a1 . 1 2 法二：在等差数列an中， 由 an1an4n3， 得 an2an14(n1)34n1， 2dan2an4n1(4n3)4，d2. 又a1a22a1d2a121，a1 . 1 2 (2)由题意知，当 n 为奇数时， Sna1a2a3an a1(a2a3)(a4a5)(an1an) 2424(n1)3n1 2 . 2n23n5 2 当 n 为偶数时，Sna1a2a3an (a1a2)(a3a4)(an1an) 19(4n7) . 2n23n 2 综上，SnError!Error!