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1、课时作业课时作业 51 圆的方程 圆的方程 1 (2019福建厦门联考)若 a， 则方程 x2y2ax 2，0，1， 3 4 2ay2a2a10 表示的圆的个数为( B ) A0 B1 C2 D3 解析：方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆的条件为 a2 4a24(2a2a1)0，即 3a24a40，解得2a .又 a 2 3 ， 仅当 a0 时， 方程 x2y2ax2ay2a2a10 2，0，1， 3 4 表示圆，故选 B. 2若圆 x2y22axb20 的半径为 2，则点(a，b)到原点的距 离为( B ) A1 B2 C. D42 解析 ： 由半径 r2， 得2. 1 2 D2E
2、24F 1 2 4a24b2a2b2 点(a，b)到原点的距离 d2，故选 B.a2b2 3 (2019广东珠海四校联考)已知圆C与直线xy0及xy4 0 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的标准方程为( B ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 解析：由题意设圆心坐标为(a，a)， 则有， |aa| 2 |aa4| 2 即|a|a2|，解得 a1. 故圆心坐标为(1，1)，半径 r， 2 2 2 所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22，故选 B. 4圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0，b
3、0) 对称，则 的最小值是( D ) 1 a 3 b A2 B.3 20 3 C4 D.16 3 解析 ： 由圆 x2y22x6y10 知，其标准方程为(x1)2(y 3)29， 圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0，b0) 对称， 该直线经过圆心(1,3)， 即a3b30，a3b3(a0，b0)， (a3b) 1 a 3 b 1 3 ( 1 a 3 b) ， 1 3(1 3a b 3b a 9) 1 3(102 3a b 3b a) 16 3 当且仅当，即 ab 时取等号，故选 D. 3b a 3a b 5 (2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中， 以点(
4、0,1) 为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的圆的 标准方程为( B ) Ax2(y1)24 Bx2(y1)22 Cx2(y1)28 Dx2(y1)216 解析：法一 由题意可得圆心(0,1)到直线 xby2b10 的距 离d ， 当且仅当b1 |1b| 1b2 1b2 1b2 1 2b 1b2 1 2|b| 1b2 2 时取等号， 所以半径最大的圆的半径 r，2 此时圆的标准方程为 x2(y1)22. 法二 直线 xby2b10 过定点 P(1,2)，如图 圆与直线xby2b10相切于点P时， 圆的半径最大， 为，2 此时圆的标准方程为 x2(y1)22，故选 B. 6
5、(2019福建三明第一中学月考)若对圆(x1)2(y1)21 上任 意一点 P(x， y)， |3x4ya|3x4y9|的取值与 x， y 无关， 则实数 a 的取值范围是( D ) A(，4 B4,6 C(，46，) D6，) 解析：设z|3x4ya|3x4y9|5 ，故|3x4ya|3x4y9|可看作点 P 到 ( |3x4ya| 916 |3x4y9| 916) 直线 m：3x4ya0 与直线 l：3x4y90 距离之和的 5 倍， 取值与 x，y 无关，这个距离之和与 P 无关， 如图所示，可知直线 m 向上平移时，P 点到直线 m，l 间的距离 之和均为 m，l 间的距离，即此时与
6、x，y 的值无关，当直线 m 与圆相 切时，1，化简得|a1|5， |34a| 916 解得 a6 或 a4(舍去)，a6，故选 D. 7 (2019河南新乡模拟)若圆 C： x2 2n 的圆心为椭圆 M ： (y 1 2m) x2my21 的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标 准方程为 x2(y1)24 . 解析：圆 C 的圆心为， (0， 1 2m) ，m . 1 m1 1 2m 1 2 又圆 C 经过 M 的另一个焦点， 则圆 C 经过点(0,1)，从而 n4. 故圆 C 的标准方程为 x2(y1)24. 8(2019东北三省四校联考)已知圆 C：(x3)2(y4
7、)21，设 点 P 是圆 C 上的动点记 d|PB|2|PA|2，其中 A(0,1)，B(0，1)， 则 d 的最大值为 74 . 解析 ： 设 P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x (y01)2x (y01)2 2 02 0 2(x y )2. 2 02 0 x y 为圆上任一点到原点距离的平方， 2 02 0 (x y )max(51)236，dmax74. 2 02 0 9设点 P 是函数 y图象上的任意一点，点 Q 坐 4x12 标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为 2 .5 解析：函数 y的图象表示圆(x1)2y24 在 x 轴 4x12 及下方的部分， 令点 Q
8、的坐标为(x， y)， 则Error!Error!得 y 3， 即 x2y6 x 2 0，作出图象如图所示， 由于圆心(1,0)到直线 x2y60 的距离 d |12 06| 1222 5 2， 所以直线 x2y60 与圆(x1)2y24 相离， 因此|PQ|的最小值是2.5 10 (2019安徽 “江南十校” 联考)已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上， 圆 C 与直线 xy0 相切， 且在直线 xy30 上截得的弦长为 ，则圆 C 的方程为 (x1)2(y1)22 .6 解析：解法一：所求圆的圆心在直线 xy0 上， 设所求圆的圆心为(a，a) 又所求圆与直线 xy0 相切， 半径 r|a
9、|. 2|a| 2 2 又所求圆在直线 xy30 上截得的弦长为，圆心(a，a)到6 直线 xy30 的距离 d， |2a3| 2 d2 2r2，即 2a2，解得 a1. ( 6 2 ) 2a32 2 3 2 圆 C 的方程为(x1)2(y1)22. 解法二 ： 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a， b)到直线 xy30 的距离 d. |ab3| 2 r2 ， ab32 2 3 2 即 2r2(ab3)23. 由于所求圆与直线 xy0 相切， (ab)22r2. 又圆心在直线 xy0 上，ab0. 联立，解得Error!Error! 故圆 C 的方程为(x1)2(y1
10、)22. 解法三：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心为 ，半径 r， ( D 2 ，E 2) 1 2 D2E24F 圆心在直线 xy0 上， 0，即 DE0， D 2 E 2 又圆 C 与直线 xy0 相切， ，| D 2 E 2| 2 1 2 D2E24F 即(DE)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. 又知圆心到直线 xy30 的距离 d ( D 2 ，E 2) ，| D 2 E 23| 2 由已知得 d2 2r2， ( 6 2 ) (DE6)2122(D2E24F)， 联立，解得Error!Error! 故所求圆的方程为 x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)2
11、2. 11 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y 轴上截得线段长为 2.23 (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 yx 的距离为，求圆 P 的方程 2 2 解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r. 由题设 y22r2，x23r2，从而 y22x23. 故 P 点的轨迹方程为 y2x21. (2)设 P(x0，y0)由已知得. |x0y0| 2 2 2 又 P 点在双曲线 y2x21 上， 从而得Error!Error!由Error!Error!得Error!Error! 此时，圆 P 的半径 r . 3 由Error!
12、Error!得Error!Error! 此时，圆 P 的半径 r . 3 故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23. 12已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2,3) (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若 M(m，n)，求的最大值和最小值 n3 m2 解：(1)由圆 C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 . 2 又|QC|42. 22273222 所以点 Q 在圆 C 外， 所以|MQ|max426，222 |MQ|min422.222 (2)可知表示直线 MQ 的斜
13、率， n3 m2 设k，则直线 MQ 的方程为 y3k(x2)， n3 m2 即 kxy2k30， 因为直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以2，可得 2k2， |2k72k3| 1k2 233 所以的最大值为 2，最小值为 2. n3 m2 33 13已知点 P(t，t)，tR，点 M 是圆 x2(y1)2 上的动点， 1 4 点 N 是圆(x2)2y2 上的动点，则|PN|PM|的最大值是( B ) 1 4 A.1 B25 C3 D. 5 解析 ： 易知圆 x2(y1)2 的圆心为 A(0,1)，圆(x2)2y2 的 1 4 1 4 圆心为 B(2,0)，P(t，t)在直线 yx 上，A(0
14、,1)关于直线 yx 的对称点 为 A(1,0)， 则|PN|PM|PB| |PB|PA|1|PB|PA| 1 2 ( |PA|1 2) 1|AB|12，故选 B. 14 (2019厦门模拟)已知两点A(0， 3)， B(4,0)， 若点P是圆C： x2 y22y0 上的动点，则ABP 的面积的最小值为( B ) A6 B.11 2 C8 D.21 2 解析：x2y22y0 可化为 x2(y1)21， 则圆 C 为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆 如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P， 连接 BP， AP， 这时ABP 的面积最小， 直线 AB 的方程为 x 4 y 3 1，即
15、 3x4y120，圆心 C 到直线 AB 的距离 d， 16 5 又|AB|5， ABP的面积的最小值为 53242 1 2 ( 16 5 1) . 11 2 15如图，在等腰ABC 中，已知|AB|AC|，B(1,0)，AC 边的 中点为 D(2,0)，则点 C 的轨迹所包围的图形的面积为 4 . 解析：由已知|AB|2|AD|，设点 A(x，y)， 则(x1)2y24(x2)2y2， 所以点 A 的轨迹方程为(x3)2y24(y0)， 设 C(x，y)，由 AC 边的中点为 D(2,0)知 A(4x，y)， 所以 C 的轨迹方程为(4x3)2(y)24， 即(x1)2y24(y0)， 所以
16、点 C 的轨迹所包围的图形面积为 4. 16(2017全国卷)已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程 解：(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2. 由Error!Error!可得 y22my40，则 y1y24. 又 x1 ，x2 ，故 x1x24. y2 1 2 y2 2 2 y 1y22 4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1， y1 x1 y2 x2 4 4 所以 OAOB
17、. 故坐标原点 O 在圆 M 上 (2)由(1)可得 y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24. 故圆心 M 的坐标为(m22，m)，圆 M 的半径 r. m 2 2 2m2 由于圆 M 过点 P(4，2)，因此0， AP BP 故(x14)(x24)(y12)(y22)0， 即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200. 由(1)可得 y1y24，x1x24. 所以 2m2m10，解得 m1 或 m . 1 2 当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3,1)， 圆 M 的半径为，圆 M 的方程为(x3)2(y1)210.10 当 m 时，直线 l 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为 1 2 ，圆 M 的半径为，圆 M 的方程为 22 . ( 9 4， 1 2) 85 4 ( x9 4) ( y1 2) 85 16