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1、 第三部分 数学思想专练 函数与方程思想专练 一、选择题 1 椭圆 y21 的两个焦点为 F1， F2， 过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交， x2 4 其一交点为 P，则|PF2|( ) A B C D4 3 2 3 7 2 答案 C 解析 如图，令|F1P|r1， |F2P|r2， 那么Error! Error!r2 故选 C 7 2 2 (2018湖北七校联考)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数， 若函数 y f(2x21)f(x)只有一个零点，则实数 的值是( ) A B C D 1 4 1 8 7 8 3 8 答案 C 解析 依题意， 方程 f(2x21)f(x)0
2、 只有 1 个解， 故 f(2x21)f(x) f(x)有 1 解， 所以 2x21x， 即 2x2x10 有唯一解， 故 18(1 )0，解得 故选 C 7 8 3 设 a1， 若对于任意的 xa， 2a， 都有 ya， a2满足方程 logaxlogay3， 这时 a 的取值的集合为( ) Aa|11，由此解得 a2故选 B 1 2 4若 2x5y2y5x，则有( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 答案 B 解析 原不等式可变形为 2x5x2y5y 即 2x x2yy ( 1 5)( 1 5) 故设函数 f(x)2x x， ( 1 5) f(x)为增函数，所以 xy，即 xy0故
3、选 B 5为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC 的 长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 05 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好， 则 AC 最短为( ) A1 米 B2 米 3 2 C(1) 米 D(2) 米33 答案 D 解析 由题意，设 BCx(x1)米，ACt(t0)米，则 ABAC05(t05) 米， 在ABC 中， 由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos60， 即(t0 5)2t2 x2tx，化简并整理得 t(x1)，即 tx12，因 x1，故 tx1 x20.25 x1 0.75 x1 0.75 x1 22当且仅当 x1时取等号，此
4、时 t 取最小值 2故选 D3 3 2 3 二、填空题 6设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 满足 S5S6150，则 d 的取值范围是_ 答案 (，2 2，)22 解析 由 S5S6150 得(5a110d)(6a115d)150， 即 2a 9a1d10d21 2 1 0，81d28(10d21)0，解得 d2或 d222 7若存在两个正实数 x，y，使得等式 x3e ay30 成立，其中 e 为自然对数 y x 的底数，则实数 a 的最小值为_ 答案 e3 27 解析 由题意知 a，设 t(t0)，则令 f(t) ，则 f(t)，当 t
5、3 ey x y x 3 y x et t3 ett3 t4 时，f(t)0，当 00)， BD DC AB AC 3 2 则 BC5x，由 cosBDAcosADC0 知 0， 9x21836 18 2x 4x21816 12 2x 解得 x1，所以 BC5 10已知各项均不相等的等差数列an的前 5 项和 S520，且 a1，a3，a7成等 比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)若 Tn为数列的前 n 项和，且存在 nN*，使得 Tnan10 成立， 1 anan1 求实数 的取值范围 解 (1)设数列an的公差为 d，则 Error!即Error! 又因为 d0，所以Error!所
6、以 ann1 (2)因为， 1 anan1 1 n1n2 1 n1 1 n2 所以 Tn 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 2 1 n2 n 2n2 因为存在 nN*，使得 Tnan10 成立， 所以存在 nN*，使得(n2)0 成立， n 2n2 即存在 nN*，使 成立 n 2n22 又， n 2n22 1 2n4 n4 且(当且仅当 n2 时取等号)， 1 2n4 n4 1 16 所以 即实数 的取值范围是， 1 16 1 16 11设函数 f(x)ln x(a 为常数) a x1 (1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值；
7、 (2)若函数 f(x)在(e，)内有极值，求实数 a 的取值范围 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，1)(1，)， 由 f(x)ln x得 f(x) ，由于曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切 a x1 1 x a x12 线与 x 轴平行，所以 f(2)0，即 0，所以 a 1 2 a 212 1 2 (2)因为 f(x) ， 1 x a x12 x22ax1 xx12 若函数 f(x)在(e，)内有极值，则函数 yf(x)在(e，)内有异号零点， 令 (x)x2(2a)x1 设 x2(2a)x1(x)(x)，可知 1， 不妨设 ，则 (0，1)，(1，)， 若函数 yf(x)在
8、(e，)内有异号零点， 即 y(x)在(e，)内有异号零点，所以 e， 又 (0)10，所以 (e)e2(2a)e1e 2，所以实数 a 的取值范围是 e 2， 1 e 1 e 12(2018河南联考)在平面直角坐标系中，动点 M 到定点 F(1，0)的距离与 它到直线 x2 的距离之比是常数，记 M 的轨迹为 T 2 2 (1)求轨迹 T 的方程； (2)过点 F 且不与 x 轴重合的直线 m 与轨迹 T 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂 直平分线与 x 轴交于点 P， 在轨迹 T 上是否存在点 Q， 使得四边形 APBQ 为菱形？ 若存在，请求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由
9、解 (1)设 M(x，y)，根据动点 M 到定点 F(1，0)的距离与它到直线 x2 的距离之比是常数， 2 2 得，整理得 y21， x12y2 |x2| 2 2 x2 2 轨迹 T 的方程为 y21 x2 2 (2)假设存在直线 m，设直线 m 的方程为 xky1， 由Error!消去 x，得(k22)y22ky10 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2，x1x2k(y1y2)2， 2k k22 4 k22 线段 AB 的中点 H 的坐标为 ( 2 k22， k k22) PQAB， 直线 PQ 的方程为 yk， k k22(x 2 k22) 令 y0，解得 x，即 P 1 k22( 1 k22，0) 设 Q(x0，y0)，P，Q 关于点 H 对称， ， (y00)， 2 k22 1 2(x 0 1 k22) k k22 1 2 解得 x0，y0，即 Q 3 k22 2k k22( 3 k22， 2k k22) 点 Q 在椭圆上， 2222， ( 3 k22)( 2k k22) 解得 k2， 1 2 于是 ，即 ， 1 k2 2 1 k 4 2 直线 m 的方程为 yx或 yx 4 2 4 2 4 2 4 2