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1、考点测试 12 函数与方程 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、高等难度 考纲研读 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数 一、基础小题 1若函数 f(x)axb 的零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax 的零点是( ) A0，2 B0，1 2 C0， D2， 1 2 1 2 答案 C 解析 由题意知 2ab0，即 b2a令 g(x)bx2ax0，得 x0 或 x a b 1 2 2若函数 f(x)ax1 在区间(1，1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围 是( ) A(1，) B(，1) C(，1)(1，) D(1，
2、1) 答案 C 解析 由题意知，f(1)f(1)1 3下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有 f(a)f(b)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( ) A(0，05)，f(0125) B(05，1)，f(0875) C(05，1)，f(075) D(0，05)，f(025) 答案 D 解析 f(x)x58x31，f(0)0， f(0)f(05)0，f(2)0，f(2)0，h(22)0，零点在 ，1 上，故选 C 1 2 1 2 1 2 9设函数 f(x)x33x，若函数
3、 g(x)f(x)f(tx)有零点，则实数 t 的取值范 围是( ) A(2，2) B(，)3333 C2，2 D，3333 答案 C 解析 由题意， g(x)x33x(tx)33(tx)3tx23t2xt33t， 当 t0 时， 显然 g(x)0 恒成立；当 t0 时，只需 (3t2)243t(t33t)0，化简得 t212，即2t2，t0综上可知，实数 t 的取值范围是2，23333 10若 a0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知 两个零点分别在(a，b)和(b，c)内 11已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，则 实数 a 的
4、取值范围是_ 答案 (2，1) 解析 函数 f(x)的大致图象如图所示，则 f(1)1a0，且 a1)在 R 上单调递减，且 关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( ) A B (0， 2 3 2 3， 3 4 C D 1 3， 2 3 3 4 1 3， 2 3) 3 4 答案 C 解析 要使函数 f(x)在 R 上单调递减，只需 解得 a ， 因为方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解， 所以直线y2 1 3 3 4 x 与函数 y|f(x)|的图象有两个交点，如图所示 易知 y|f(x)|的图象与 x 轴的交点的横坐标为 1， 又 12， 故由
5、图可知， 1 a 1 3 1 a 直线y2x与y|f(x)|的图象在x0时有一个交点 ； 当直线y2x与yx2(4a 3)x3a(x0若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范 围是_ 答案 (3，) 解析 f(x)的大致图象如图所示， 若存在 bR，使得方程 f(x)b 有三个不同的根，只需 4mm20， 所以 m3 18(2018全国卷)函数 f(x)cos在0，的零点个数为_ (3x 6) 答案 3 解析 0x， 3x 6 6 19 6 由题可知，当 3x ，3x 或 3x 时，f(x)0解得 x ， 6 2 6 3 2 6 5 2 9 4 9 或
6、 7 9 故函数 f(x)cos3x 在0，上有 3 个零点 6 19(2018天津高考)已知 a0，函数 f(x)若关 于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_ 答案 (4，8) 解析 设 g(x)f(x)ax 方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解即函数 yg(x)有两个零点，即 yg(x)的 图象与 x 轴有 2 个交点，满足条件的 yg(x)的图象有以下两种情况： 情况一： 则 情况二： 则不等式组无解 综上，满足条件的 a 的取值范围是(4，8) 20 (2018浙江高考)已知 R， 函数 f(x)当 2 时， 不等式 f(x)4 两个零点
7、为 1， 4， 由图可知，此时 10， 根据函数零点存在性定理可得， 函数 f(x)的零点位于区间(1， 2)上， 故选 D 22 (2018安 徽 安 庆 二 模 )定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f(x) 且 f(x1)f(x1)， 若 g(x)3log2x， 则函数 F(x)f(x) g(x)在(0，)内的零点个数为( ) A3 B2 C1 D0 答案 B 解析 由 f(x1)f(x1)， 知 f(x)的周期是 2， 画出函数 f(x)和 g(x)的部分图象， 如图所示，由图象可知 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，故 F(x)有 2 个零点故选 B 23 (20
8、18沈阳质检一)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且 f(x2)f(2x)， 当 x2， 0时， f(x) x1， 则在区间(2， 6)上关于 x 的方程 f(x)log8(x2) 2 2 0 的解的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 原方程等价于yf(x)与ylog8(x2)的图象的交点个数问题， 由f(x2) f(2x)， 可知 f(x)的图象关于 x2 对称， 再根据 f(x)是偶函数这一性质， 可由 f(x) 在2，0上的解析式，作出 f(x)在(0，2)上的图象，进而作出 f(x)在(2，6)上的 图象，如图所示 再在同一坐标系下，画出 ylog8(x2)
9、的图象，注意其图象过点(6，1)，由图 可知，两图象在区间(2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选 C 24(2018郑州质检一)已知函数 f(x) (aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(0，1 B1，) C(0，1) D(，1 答案 A 解析 由于 x0 时， f(x)exa 在(， 0上单调递增， x0 时， f(x)2xa 在(0， )上也单调递增， 而函数 f(x)在 R 上有两个零点， 所以当 x0 时， f(x)ex a 在(，0上有一个零点，即 exa 有一个根因为 x0，00 时，f(x)2xa 在(0，)上有一个零点，即
10、2xa 有一个 根因为 x0，2x0，所以 a0所以函数 f(x)在 R 上有两个零点，则实数 a 的取 值范围是(0，1，故选 A 25 (2018唐山期末)已知 a1， 函数 f(x)若存在 t 使得 g(x)f(x)t 有三个零点，则 a 的取值范围是( ) A(1，0) B(0，1) C(1，) D(0，) 答案 C 解析 如图，作出函数 yx2和 ylog2(x1)的图象，从图中可以看出，在点 O(0，0)和点 A(1，1)处两函数图象有交点，显然，要使 g(x)f(x)t 有三个零点， 则函数 yf(x)的图象与直线 yt 有三个交点，显然，只有当 a1 时，才可能有三 个交点，故
11、选 C 26 (2018衡阳三模)已知函数 f(x)x23x8cos x， 则函数 f(x)在(0， 13 4 1 2 )上的所有零点之和为( ) A6 B7 C9 D12 答案 A 解析 h(x)x23xx 21 的图象关于 x 对称， 设函数 g(x)8cos 13 4 3 2 3 2 x 由 xk， 可得x k(kZ)， 令k1可得x ， 所以函数g(x)8cos 1 2 1 2 1 2 3 2 x 的图象也关于 x 对称当 x 时，h 2g 8，作出函数 h(x)，g(x)的图 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 象由图可知函数 h(x)x23xx 21 的图象与函数 g(x)8c
12、os x 的 13 4 3 2 1 2 图象有四个交点，所以函数 f(x)x23x8cos x 在(0，)上的零点个 13 4 1 2 数为 4，所有零点之和为 4 6，故选 A 3 2 27 (2018广东惠州 4 月模拟)已知函数 f(x)对任意的 xR， 都有 f xf x， 1 2 1 2 函数 f(x1)是奇函数，当 x 时，f(x)2x，则方程 f(x) 在区间3，5 1 2 1 2 1 2 内的所有根的和为_ 答案 4 解析 函数 f(x1)是奇函数， 函数 f(x1)的图象关于点(0，0)对称， 把函数 f(x1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 f(x)的图象，即函数 f(
13、x)的图 象关于点(1，0)对称，则 f(2x)f(x) 又f xf x， 1 2 1 2 f(1x)f(x)，从而 f(2x)f(1x)， f(x1)f(x)，即 f(x2)f(x1)f(x)，函数 f(x)的周期为 2，且图 象关于直线 x 对称 1 2 画出函数 f(x)的图象如图所示 结合图象可得方程 f(x) 在区间3，5内有 8 个根，且所有根之和为 1 2 1 2 244 28 (2018江西上高第二中学模拟)已知 f(x)则函数 y 2f2(x)3f(x)的零点个数为_ 答案 5 解 析 令 y 2f2(x) 3f(x) 0， 则 f(x) 0 或 f(x) 函 数 f(x)
14、3 2 的图象如图所示： 由图可得，f(x)0 有 2 个根，f(x) 有 3 个根，故函数 y2f2(x)3f(x)的零点 3 2 个数为 5 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1 (2018湖 南 衡 阳 八 中 月 考 )已 知 函 数 f(x) x2 2x， g(x) (1)求 gf(1)的值； (2)若方程 gf(x)a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围 解 (1)利用解析式直接求解得 gf(1)g(3)312 (2)令 f(x)t，则原方程化为 g(t)a，易知方程 f(x)t 在 t(，1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数
15、 yg(t)(t1)与 ya 的图象有 2 个不同 的交点，作出函数 yg(t)(t1)的图象，如图，由图象可知，当 1a 时，函数 y 5 4 g(t)(t1)与 ya 有 2 个不同的交点，即所求实数 a 的取值范围是 1， 5 4 2(2018河北沧州一中月考)已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10 (1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 解 (1)由条件， 抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1， 0) 和(1，2)内，如图 1 所示，得 (2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0，1)内，如图 2 所示，列不等式组 即 m1 1 2 2