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1、考点测试 24 正弦定理和余弦定理 高考概览 本考点是高考必考知识点， 常考题型为选择题、 填空题和解答题， 分值 5 分、 12 分，中、低等难度 考纲研读 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 一、基础小题 1在ABC 中，C60，AB，BC，那么 A 等于( )32 A135 B105 C45 D75 答案 C 解析 由正弦定理知，即，所以 sinA，又由题知 BC sinA AB sinC 2 sinA 3 sin60 2 2 0a，BA，角 B 有两个解，故选 C bsinA a 16 sin45 14 4 2 7 二、高考小题 9(2018全国卷)在ABC 中，
2、cos ，BC1，AC5，则 AB( ) C 2 5 5 A4 B C D2230295 答案 A 解析 因为 cosC2cos212 21 ，所以 AB2BC2AC2 C 2 5 5 3 5 2BCACcosC125215 32，AB4故选 A 3 5 2 10(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则 C( ) a2b2c2 4 A B C D 2 3 4 6 答案 C 解析 由题可知 SABC absinC，所以 a2b2c22absinC由 1 2 a2b2c2 4 余弦定理得 a2b2c22abcosC， 所以 sinCcosC C(
3、0， )， C ， 故选 C 4 11 (2017山东高考)在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 若ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的 是( ) Aa2b Bb2a CA2B DB2A 答案 A 解析 解法一：因为 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，所以 sinB 2sinBcosCsinAcosCsin(AC)，所以 sinB2sinBcosCsinAcosCsinB， 即 cosC(2sinBsinA)0， 所以 cosC0 或 2sinBsinA， 即 C90或
4、2ba， 又ABC 为锐角三角形，所以 0C90，故 2ba 故选 A 解法二：由正弦定理和余弦定理得 b12ac， a2b2c2 ab a2b2c2 2ab b2c2a2 2bc 所以 2b21a23b2c2， a2b2c2 ab 即(a2b2c2)a2b2c2， 2b a 即(a2b2c2)10， 2b a 所以 a2b2c2或 2ba， 又ABC 为锐角三角形，所以 a2b2c2，故 2ba故选 A 12 (2018浙江高考)在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 若 a ，b2，A60，则 sinB_，c_7 答案 3 21 7 解析 由得 sinB sin
5、A， 由 a2b2c22bccosA， 得 c22c a sinA b sinB b a 21 7 30，解得 c3(舍去负值) 13(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinCcsinB 4asinBsinC，b2c2a28，则ABC 的面积为_ 答案 2 3 3 解析 根据题意，结合正弦定理可得 sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC， 即 sinA ，结合余弦定理可得 2bccosA8，所以 A 为锐角，且 cosA，从而 1 2 3 2 求得 bc，所以ABC 的面积为 S bcsinA 8 3 3 1 2 1 2 8 3
6、 3 1 2 2 3 3 三、模拟小题 14(2018广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知 a，b，c 为ABC 的三个 内角 A，B，C 所对的边，若 3bcosCc(13cosB)，则 sinCsinA( ) A23 B43 C31 D32 答案 C 解析 由正弦定理得 3sinBcosCsinC3sinCcosB， 3sin(BC)sinC， 因为 A BC， 所以 BCA， 所以 3sinAsinC， 所以 sinCsinA31， 故选 C 15 (2018合肥质检)已知ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 若 sin(CA) sinB，且 b4，则 c
7、2a2( ) 1 2 A10 B8 C7 D4 答案 B 解析 依题意， 有 sinCcosAcosCsinA sinB， 由正弦定理得 ccosAacosC 1 2 b； 再由余弦定理可得ca b， 将b4代入整理， 得c2a2 1 2 b2c2a2 2bc b2a2c2 2ab 1 2 8，故选 B 16 (2018珠海摸底)在ABC 中， 已知角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， C 60，a4b，c，则ABC 的面积为_13 答案 3 解析 根据余弦定理，有 a2b22abcosCc2，即 16b2b28b2 13， 1 2 所以 b21，解得 b1，所以 a4，所以
8、SABC absinC 41 1 2 1 2 3 2 3 17 (2018贵阳期末)设ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 asinB bcosA，a4，若ABC 的面积为 4，则 bc_33 答案 8 解析 由 asinBbcosA 得， 再由正弦定理， 所以3 b sinB a 3cosA b sinB a sinA a sinA ， 即 tanA， 又 A 为ABC 的内角， 所以 A 由ABC 的面积为 S a 3cosA 3 3 bcsinA bc4， 得bc16 再由余弦定理a2b2c22bccosA， 得b2c2 1 2 1 2 3 2 3 32，所
9、以 bc8 bc2b2c22bc322 16 18(2018长春质检)已知ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 其面积 Sb2sinA，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，AD，a，则 b 2 3 3 3 _ 答案 1 解析 由 S bcsinAb2sinA， 可知 c2b， 由角平分线定理可知， 1 2 BD CD AB AC 2 又 BDCDa， 所以 BD， CD 在ABD 中， 因为 BDAD c b 3 2 3 3 3 3 ， ABc2b， 所以 cosABDb， 在ABC 中， 由余弦定理得 AC2AB2 2 3 3 1 2AB BD 3 2 BC22A
10、BBCcosABD， 所以 b24b234bcosABD34b26b2， 解得 b3 1 一、高考大题 1 (2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中， ADC90， A45， AB2， BD 5 (1)求 cosADB； (2)若 DC2，求 BC2 解 (1)在ABD 中，由正弦定理，得 BD sinA AB sinADB 由题设知，所以 sinADB 5 sin45 2 sinADB 2 5 由题设知，ADB0，所以 sinBcosA， 2 即 cos BcosA 2 因为 A(0，)， B0， 2 2 所以 BA，即 AB ，所以 C 2 2 2 (2)设 BDm，CBn因为 B ，
11、C ， 3 2 所以 A ，DBC，且 ACn，AB2n，AD2nm所以 SACD 6 2 3 3 1 2 ACADsinA n(2nm) ，即 n(2nm)3， 1 2 3 1 2 3 3 4 在BCD 中， 由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcosDBC， 即 m2n2 mn3， 联立解得 mn1，即 BD1 5(2018长沙统考)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a2c(ac)b2 (1)求角 B 的大小； (2)设 m2ac，若 b，求 m 的取值范围3 解 (1)因为 a2c(ac)b2，所以 a2c2b2ac， 所以 cosB a2
12、c2b2 2ac 1 2 又因为 0B，所以 B 3 (2)由正弦定理得2， a sinA c sinC b sinB 3 sin 3 所以 a2sinA，c2sinC 所以 m2ac4sinA2sinC 4sinA2sinA 2 3 4sinA2cosA sinA 3 2 1 2 3sinAcosA3 2sinA cosA3 3 2 1 2 2sinA 3 6 因为 A，C 都为锐角，则 0A ，且 0CA ，所以 A ，所以 0A 2 2 3 2 6 2 ， 6 3 所以 0sinA ，所以 0m3 6 3 2 6(2018福建 4 月质检)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b
13、，c，已知 bcosCcsinBa33 (1)求角 B 的大小； (2)若 a3，b7，D 为边 AC 上一点，且 sinBDC，求 BD 3 3 解 (1)由正弦定理及bcosCcsinBa，33 得sinBcosCsinCsinBsinA，33 所以sinBcosCsinCsinBsin(BC)，33 所以sinBcosCsinCsinBsinBcosCcosBsinC，333 即sinCsinBcosBsinC3 因为 sinC0，所以sinBcosB，所以 tanB33 又 B(0，)，解得 B 2 3 (2)解法一：在ABC 中，由余弦定理 b2a2c22accosB，且 a3，b7
14、， 所以 7232c223c ，解得 c5 1 2 在ABC 中，由正弦定理，得， b sinB c sinC 7 3 2 5 sinC 解得 sinC 5 3 14 在BCD 中，由正弦定理， BD sinC a sinBDC 得， BD 5 3 14 3 3 3 解得 BD 45 14 解法二：在ABC 中，由正弦定理， a sinA b sinB 及 a3，b7，得 sinA 3 3 14 又因为 B，所以 0A ，所以 cosA， 2 3 3 13 14 则 sinCsin(AB)sincosAcossinA 2 3 2 3 3 2 13 14 1 2 3 3 14 5 3 14 在BCD 中，由正弦定理， BD sinC a sinBDC 得，解得 BD BD 5 3 14 3 3 3 45 14