2020届高考数学理一轮（新课标通用）考点测试：27　平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析.pdf

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1、考点测试 27 平面向量基本定理及坐标表示 高考概览 本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读 1了解平面向量基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件 一、基础小题 1已知向量 a(2，1)，b(4，m)，若 a b，则 m( ) 1 2 A2 B2 C D 1 2 1 2 答案 A 解析 由向量的坐标运算可得 1 m，解得 m2故选 A 1 2 2 设向量 e1， e2为平面内所有向量的一组基底， 且向量 a3e14e2与 b6e1 ke2不能作为一组基

2、底，则实数 k 的值为( ) A8 B8 C4 D4 答案 B 解析 由 a 与 b 不能作为一组基底，则 a 与 b 必共线，故 ，即 k 3 6 4 k 8故选 B 3已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为( )AB A， B， 3 5 4 5 4 5 3 5 C ， D ， 3 5 4 5 4 5 3 5 答案 A 解析 因为(3， 4)， 所以与其同方向的单位向量 e (3， 4) ，AB AB |AB | 1 5 3 5 故选 A 4 5 4若向量 a(2，1)，b(1，2)，c0，则 c 可用向量 a，b 表示为( ) 5 2 A ab B ab 1 2 1

3、 2 C a b D a b 3 2 1 2 3 2 1 2 答案 A 解析 设 cxayb， 则 0， (2xy， x2y)， 所以Error!解得Error!则 c a 5 2 1 2 b故选 A 5已知平行四边形 ABCD 中，(3，7)，(2，3)，对角线 AC 与 BDAD AB 交于点 O，则的坐标为( )CO A ，5 B，5 1 2 1 2 C，5 D ，5 1 2 1 2 答案 D 解析 (2，3)(3，7)(1，10)AC AB AD ，5 ，5故选 DOC 1 2AC 1 2 CO 1 2 6 设向量 a(1， 3)， b(2， 4)， c(1， 2)， 若表示向量 4a

4、， 4b2c， 2(a c)，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d( ) A(2，6) B(2，6) C(2，6) D(2，6) 答案 D 解析 设 d(x， y)， 由题意知 4a(4， 12)， 4b2c(6， 20)， 2(ac)(4， 2)， 又 4a4b2c2(ac)d0， 所以(4， 12)(6， 20)(4， 2)(x， y)(0， 0)，解得 x2，y6，所以 d(2，6)故选 D 7已知点 A(1，2)，若向量与向量 a(2，3)同向，且|，则点 BAB AB 13 的坐标为( ) A(2，3) B(2，3) C(3，1) D(3，1) 答案 C 解析 设(x， y

5、)， 则ka(k0)， 即Error!由|得 k1， 故AB AB AB 13OB OA (1，2)(2，3)(3，1)故选 CAB 8已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，当 A，B，C 三点共线OA OB OC 时，实数 k 的值为( ) A3 B11 C2 D2 或 11 答案 D 解析 因为(4k， 7)，(6， k5)， 且AB OB OA BC OC OB AB BC ，所以(4k)(k5)6(7)0，解得 k2 或 11故选 D 9 已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示， 若AC AD AB AC AB AD ，则 ( ) A3 B3 C4 D4 答案 A 解析 建

6、立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则(2，2)，(1，2)，AC AB (1， 0)， 由题意可知(2， 2)(1， 2)(1， 0)， 即Error!解得Error!所以 AD 3故选 A 10 设D， E分别是ABC的边AB， BC上的点， 若1AD 1 2AB BE 2 3BC DE 2(1，2为实数)，则 12的值为_AB AC 答案 1 2 解析 ()，1DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 AC AB 1 6AB 2 3AC ，2 ，12 1 6 2 3 1 2 11如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为 120，OA OB OC OA OB 与的夹角

7、为 30， 且|1， |2 若(， R)，OA OC OA OB OC 3OC OA OB 则 的值为_ 答案 6 解析 以 O 为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1， 0)， B， ( 1 2， 3 2) C(3，)3 由，OC OA OB 得Error!解得Error! 所以 6 二、高考小题 12 (2016全国卷)已知向量 a(1， m)， b(3， 2)， 且(ab)b， 则 m( ) A8 B6 C6 D8 答案 D 解析 由题可得 ab(4，m2)，又(ab)b， 432(m2)0，m8故选 D 13(2015湖南高考)已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动

8、，且 ABBC若 点 P 的坐标为(2，0)，则|的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9 答案 B 解析 解法一：由圆周角定理及 ABBC，知 AC 为圆的直径，故2PA PC (4，0)(O 为坐标原点)PO 设 B(cos，sin)，(cos2，sin)，PB (cos6，sin)，|PA PB PC PA PB PC cos62sin2 7， 当且仅当 cos1 时取等号， 此时 B(1， 0)， 故|3712cos3712PA |的最大值为 7故选 BPB PC 解法二 ： 同解法一得2(O 为坐标原点)， 又， |PA PC PO PB PO OB PA PB |3

9、|PC PO OB 3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时 B 点坐标为PO OB PO OB (1，0)，故|max7故选 BPA PB PC 14 (2018全国卷)已知向量 a(1， 2)， b(2， 2)， c(1， ) 若 c(2ab)， 则 _ 答案 1 2 解析 由题可得 2ab(4， 2)， c(2ab)， c(1， )， 420， 即 1 2 15 (2015全国卷)设向量 a， b 不平行， 向量 ab 与 a2b 平行， 则实数 _ 答案 1 2 解析 由于 a， b 不平行， 所以可以以 a， b 作为一组基底， 于是 ab 与 a2b 平行等价于 ，即 1 1 2

10、 1 2 16 (2015江苏高考)已知向量a(2， 1)， b(1， 2)， 若manb(9， 8)(m， n R)，则 mn 的值为_ 答案 3 解析 由 a(2， 1)， b(1， 2)， 可得 manb(2m， m)(n， 2n)(2mn， m 2n)， 由已知可得Error!解得Error! 故 mn3 17 (2017江苏高考)如图， 在同一个平面内， 向量，的模分别为 1， 1，OA OB OC ，与的夹角为 ，且 tan7，与的夹角为 45若mn2OA OC OB OC OC OA OB (m，nR)，则 mn_ 答案 3 解析 解法一：tan7，0， cos，sin 2 10

11、 7 2 10 与的夹角为 ，OA OC 2 10 OA OC |OA |OC | mn，|1，|，OC OA OB OA OB OC 2 2 10 mnOA OB 2 又与的夹角为 45，OB OC 2 2 OB OC |OB |OC | mOA OB n 2 又 cosAOBcos(45)coscos45sinsin45 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5 ， |cosAOB ，OA OB OA OB 3 5 将其代入得 m n ， mn1， 3 5 1 5 3 5 两式相加得 m n ，所以 mn3 2 5 2 5 6 5 解法二 ： 过 C 作 CMOB， CNOA， 分别

12、交线段 OA， OB 的延长线于点 M， N， 则m，n，由正弦定理得OM OA ON OB ，|， |OM | sin45 |OC | sin135 |ON | sin OC 2 由解法一，知 sin，cos， 7 2 10 2 10 | ，OM 2sin45 sin135 1 sin45 5 4 | ON 2sin sin135 2 7 2 10 sin45 7 4 又mn，|O|1，OC OA OB OM ON OA B m ，n ，mn3 5 4 7 4 解法三 ： 如图， 设Om， Dn， 则在ODC中有ODm， DCn， OCD OA C OB ，OCD45，2 由 tan7，得

13、cos，又由余弦定理知 2 10 Error! 即Error! 得 42n m0， 即 m105n， 代入得 12n249n490， 解得 n 2 5 或 n ， 当 n 时， m105 0(不符合题意， 舍去)， 当 n 时， m10 7 4 7 3 7 3 7 3 5 3 7 4 5 ，故 mn 3 7 4 5 4 5 4 7 4 三、模拟小题 18 (2018长春质检二)已知平面向量a(1， 3)， b(2， 0)， 则|a2b|( ) A3 B3 C2 D522 答案 A 解析 a2b(1， 3)2(2， 0)(3， 3)， 所以|a2b|3232 3，故选 A2 19 (2018吉林

14、白城模拟)已知向量 a(2， 3)， b(1， 2)， 若 manb 与 a2b 共线，则 ( ) m n A B2 C D2 1 2 1 2 答案 C 解析 由向量 a(2， 3)， b(1， 2)， 得 manb(2mn， 3m2n)， a2b(4， 1)由 manb 与 a2b 共线，得，所以 ，故选 C 2mn 4 3m2n 1 m n 1 2 20(2018山东潍坊一模)若 M 是ABC 内一点，且满足4，则BA BC BM ABM 与ACM 的面积之比为( ) A B C D2 1 2 1 3 1 4 答案 A 解析 设 AC 的中点为 D， 则2， 于是 24， 从而2，BA B

15、C BD BD BM BD BM 即 M 为 BD 的中点，于是 S ABM S ACM S ABM 2S AMD BM 2MD 1 2 21 (2018河北衡水中学 2 月调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB， AD 分别交于点 E，F，且交其对角线 AC 于点 M，若2，3，AB AE AD AF AM (，R)，则 ( )AB AC 5 2 A B1 C D3 1 2 3 2 答案 A 解析 ()()2()3AM AB AC AB AB AD AB AD AE ， 因为 E， M， F 三点共线， 所以 2()(3)1， 即 251， AF 5 2 ，故选 A 1 2

16、 22 (2018湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中， AC与BD相交于点O， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F 若a，b， 则( )AC BD AF A a b B a b 1 4 1 2 1 2 1 4 C a b D a b 2 3 1 3 1 2 2 3 答案 C 解析 解法一 ： 如题图，根据题意，得 (ab)，AB 1 2AC 1 2DB 1 2 AD 1 2AC (ab) 1 2BD 1 2 E 是线段 OD 的中点，DFAB， ， DF AB DE EB 1 3 D A (ab)，F 1 3 B 1 6 AAD (ab) (ab) a b故选

17、 CF D F 1 2 1 6 2 3 1 3 解法二 ： 如题图，根据题意，得 (ab)，AB 1 2AC 1 2DB 1 2 AD 1 2AC 1 2BD (ab)令t，则t()t a b由， 1 2 AF AE AF AB BE AB 3 4BD t 2 t 4 AF AD DF 令s，又 (ab)， a b，所以ab，所以Error!DF DC AD 1 2 DF s 2 s 2 AF s1 2 1s 2 解方程组得Error!把 s 代入即可得到 a b，故选 CAF 2 3 1 3 23 (2018湖北黄石质检)已知点 G是ABC的重心， 过 G 作一条直线与AB， AC 两边分别

18、交于 M，N 两点，且x，y，则的值为( )AM AB AN AC xy xy A B C2 D3 1 2 1 3 答案 B 解析 由已知得 M，G，N 三点共线，(1)x(1)yAG AM AN AB 点 G 是ABC 的重心， () ()，AC AG 2 3 1 2 AB AC 1 3 AB AC Error!即Error!得1，即 3，通分变形得，3， 1 3x 1 3y 1 x 1 y xy xy xy xy 1 3 故选 B 24(2018合肥质检三)已知向量(2，0)，(0，2)，t，tR，OA OB AC AB 则当|最小时，t_OC 答案 1 2 解析 由t知A， B， C三点

19、共线， 即动点C在直线AB上 从而当OCABAC AB 时，|最小，易得|O|O|，此时|A| |A|，则 t OC A B C 1 2 B 1 2 25(2018太原 3 月模拟)在正方形 ABCD 中，已知 M，N 分别是 BC，CD 的 中点，若，则实数 _AC AM AN 答案 4 3 解析 解法一 ：如图，因为 M，N 分别是 BC，CD 的中点，所以AM 1 2AB 1 2 ，所以 ()，AC AN 1 2AD 1 2AC AM AN 1 2 AB AD AC 1 2AC AC 3 2AC 所以，而，AC 2 3AM 2 3AN AC AM AN 所以 ， ， 2 3 2 3 4

20、3 解法二：如图，以 A 为原点，分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立平面直 角坐标系设正方形 ABCD 边长为 1，则 A(0，0)，C(1，1)，M1，N ，1所以 1 2 1 2 (1， 1)， AM1， ， 1， 所以 ， ， 所以Error!AC 1 2 AN 1 2 AM AN 1 2 1 2 AC 所以 Error! 4 3 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1 (2018皖南八校模拟)如图， AOB ， 动点 A1， A2与 B1， B2分别在射线 OA， 3 OB 上， 且线段 A1A2的长为 1， 线段 B1B2的长为 2， 点 M，

21、N 分别是线段 A1B1， A2B2 的中点 (1)用向量与表示向量；A1A2 B1B2 MN (2)求向量的模MN 解 (1)，两式相加，并注意到MN MA1 A1A2 A2N MN MB1 B1B2 B2N 点 M，N 分别是线段 A1B1，A2B2的中点，得 ()MN 1 2 A1A2 B1B2 (2)由已知可得向量与的模分别为 1 与 2， 夹角为 ， 所以1，A1A2 B1B2 3 A1A2 B1B2 由 ()MN 1 2 A1A2 B1B2 得|MN 1 4 A 1A2 B1B2 2 1 2 A1A2 2B1B2 22A1A2 B1B2 7 2 2(2018湖北荆门调研)在如图所示

22、的平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)和 点 B(1，0)，|1，且AOCx，其中 O 为坐标原点OC (1)若 x，设点 D 为线段 OA 上的动点，求|的最小值； 3 4 OC OD (2)若 x，向量 m，n(1cosx，sinx2cosx)，求 mn 的最小值 0， 2 BC 及对应的 x 值 解 (1)设 D(t，0)(0t1)，由题易知 C， ( 2 2 ， 2 2) 所以，所以|2 tt2 t2t1OC OD ( 2 2 t， 2 2) OC OD 1 2 2 1 2 2 2 (0t1)， (t 2 2) 1 2 所以当 t时，|2的最小值为 ，则|的最小值为 2 2 OC OD 1 2 OC OD 2 2 (2)由题意得 C(cosx，sinx)，m(cosx1，sinx)，BC 则 mn1cos2xsin2x2sinxcosx 1cos2xsin2x1sin2 (2x 4) 因为 x，所以 2x ， 0， 2 4 4 5 4 所以当 2x ，即 x 时， 4 2 8 sin取得最大值 1， (2x 4) 所以 mn 的最小值为 1，此时 x 2 8