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1、第二章 函数、导数及其应用 考点测试 4 函数及其表示 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值5分，中高等难度 考纲研读 1了解构成函数的要素，了解映射的概念 2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数 3了解简单的分段函数，并能简单应用 一、基础小题 1设 f(x)Error!g(x)Error!则 fg()的值为( ) A1 B0 C1 D 答案 B 解析 因为 g()0，所以 fg()f(0)0，故选 B 2下列图象中，不可能成为函数 yf(x)图象的是( ) 答案 A 解析 函数图象上一个 x 值只能对应一个 y 值 选项 A
2、中的图象上存在一个 x 值对应两个 y 值，所以其不可能为函数图象，故选 A 3下列各组函数中是同一个函数的是( ) f(x)x 与 g(x)()2；x f(x)x 与 g(x)；x2 f(x)x2与 g(x)；x4 f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 A B C D 答案 C 解析 中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为0，)，故 f(x)，g(x)不是同 一个函数；中 g(x)|x|，故 f(x)，g(x)不是同一个函数故选 Cx2 4若点 A(0，1)，B(2，3)在一次函数 yaxb 的图象上，则一次函数的解析 式为( ) Ayx1 By2x1 Cyx1 Dy2x1 答
3、案 C 解析 将点 A，B 代入一次函数 yaxb 得 b1，2ab3，则 a1故一 次函数的解析式为 yx1故选 C 5已知反比例函数 yf(x)若 f(1)2，则 f(3)( ) A1 B C D1 2 3 1 3 答案 B 解析 设 f(x) (k0)，由题意有 2k，所以 f(x) ，故 f(3) 故选 B k x 2 x 2 3 6已知 f(x1)x22x3，则 f(x)( ) Ax24x6 Bx22x2 Cx22 Dx21 答案 C 解析 解法一：由 f(x1)(x1)22 得 f(x)x22故选 C 解法二 ： 令 x1t， 则 xt1， 所以 f(t)(t1)22(t1)3t2
4、2， 故 f(x) x22故选 C 7函数 yf(x)的图象与直线 x1 的公共点个数可能是( ) A1 B0 C0 或 1 D1 或 2 答案 C 解析 函数的图象与直线有可能没有交点如果有交点，那么对于 x1，f(x) 仅有一个函数值与之对应故选 C 8“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲 起来， 睡了一觉 当它醒来时， 发现乌龟快到终点了， 于是急忙追赶， 但为时已晚， 乌龟还是先到达了终点用 s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则 下图与故事情节相吻合的是( ) 答案 B 解析 兔子的速率大于乌龟，且到达终点的时间比乌龟长，观察图象可知，
5、选 B 9下列从集合 A 到集合 B 的对应中是映射的是( ) AABN*，对应关系 f：xy|x3| BAR，B0，1，对应关系 f：xyError! CAZ，BQ，对应关系 f：xy1 x DA0，1，2，9，B0，1，4，9，16，对应关系 f：ab(a1)2 答案 B 解析 A 项中，对于集合 A 中的元素 3，在 f 的作用下得 0，但 0B，即集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对 于集合 A 中任意一个非负数在集合 B 中都有唯一元素 1 与之对应，对于集合 A 中 任意一个负数在集合 B 中都有唯一元素 0 与之对应， 所以这
6、个对应是映射 ； C 项中， 集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中， 在 f 的作用下，集合 A 中的元素 9 应该对应 64，而 64B，故这个对应不是映 射故选 B 10若函数 f(x)如下表所示： x0123 f(x)3210 则 ff(1)_ 答案 1 解析 由表格可知，f(1)2，所以 ff(1)f(2)1 11已知函数 g(x)12x，fg(x)，则 f_ 2x 2x2( 1 2) 答案 8 31 解析 令 12x ，得 x ，所以 f 1 2 1 4( 1 2) 2 1 4 2 1 16 1 2 31 16 8 31 12如图，定义
7、在1，)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一 部分组成，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)Error! 解析 当1x0 时，设解析式为 ykxb(k0)， 由图象得Error!解得Error!yx1 当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0)， 图象过点(4，0)，0a(42)21，解得 a 1 4 综上，函数 f(x)在1，)上的解析式为 f(x)Error! 二、高考小题 13(2015全国卷)设函数 f(x)Error!则 f(2)f(log212)( ) A3 B6 C9 D12 答案 C 解析 21，f(log212)2log21212log266 f(2)f
8、(log212)9 14(2015浙江高考)存在函数 f(x)满足：对于任意 xR 都有( ) Af(sin2x)sinx Bf(sin2x)x2x Cf(x21)|x1| Df(x22x)|x1| 答案 D 解析 对于 A，令 x0，得 f(0)0； 令 x ，得 f(0)1，这与函数的定义不 2 符，故 A 错误在 B 中，令 x0，得 f(0)0；令 x ，得 f(0) ，与函数 2 2 4 2 的定义不符，故 B 错误在 C 中，令 x1，得 f(2)2；令 x1，得 f(2)0， 与函数的定义不符， 故C错误 在D中， 变形为f(|x1|21)|x1|， 令|x1|21t， 得t1，
9、 |x1|， 从而有f(t)， 显然这个函数关系在定义域1， )t1t1 上是成立的，故选 D 15(2015山东高考)设函数 f(x)Error!则满足 ff(a)2f(a)的 a 的取值范围是 ( ) A B0，1 2 3，1 C D1，) 2 3，) 答案 C 解析 解法一 ： 当a1， ff(a)22a， 2f(a)22a， 故 ff(a)2f(a)综合 知 a 故选 C 2 3 解法二：f(x)Error!而 ff(a)2f(a)， f(a)1， 有Error!或Error!解得 a1 的 x 的取值范围 (x 1 2) 是_ 答案 (1 4，) 解析 由题意知，可对不等式分 x0，
10、0x ，x 三段讨论 1 2 1 2 当 x0 时，原不等式为 x1x 1，解得 x ， 1 2 1 4 x0 1 4 当 0x 时，原不等式为 2xx 1，显然成立 1 2 1 2 当 x 时，原不等式为 2x2x 1，显然成立 1 2 1 2 综上可知，x 1 4 三、模拟小题 18(2019福建厦门开学考)设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应关系如下： 映射 f 的对应关系 x1234 f(x)3421 映射 g 的对应关系 x1234 g(x)4312 则 fg(1)的值为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 根据映射 g 的对应关系，可得 g(1)4，再根据映射
11、f 的对应关系，可 得 f(4)1，故选 A 19(2019湖南雅礼中学月考)下列函数为同一函数的是( ) Ayx22x 和 yt22t Byx0和 y1 Cy 和 yx1 x12 Dylg x2和 y2lg x 答案 A 解析 对于 A： yx22x 和 yt22t 的定义域都是 R，对应关系也相同， 是同一函数；对于 B：yx0的定义域是x|x0，而 y1 的定义域是 R，两函数 的定义域不同，不是同一函数；对于 C：y|x1|和 yx1 的定义 x12 域都是 R，但对应关系不相同，不是同一函数；对于 D：ylg x2的定义域是 x|x0，而 y2lg x 的定义域是x|x0，两函数的定
12、义域不同，不是同一函 数故选 A 20 (2018河南商丘第二次模拟)设函数 f(x)若 f(m)3， 则实数 m 的值为( ) A2 B8 C1 D2 答案 D 解析 当 m2 时，由 m213， 得 m24，解得 m2； 当 00)， ff(x)4x 3，则 f(2)_ 答案 3 解 析 由 题 意 ， 得 ff(x) a(ax b) b a2x ab b 4x 3， 即 因为 a0，所以解得 所以 f(x)2x1，则 f(2)3 24 (2019江西南昌摸底)已知函数 f(x)sinx， 则 f(2)f(1)f(0) 2 2x1 f(1)f(2)_ 答案 5 解析 f(x)f(x)sin
13、xsinx2， 且f(0) 2 2x1 2 2x1 2 2x1 2x1 12x 1， f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)5 25(2018河南南阳第一中学第二次考试)已知 f(1cosx)sin2x，则 f(x2)的解 析式为_ 答案 f(x2)x42x2，x，22 解析 f(1cosx)sin2x1cos2x， 令 1cosxt，t0，2， 则 cosx1t， 所以 f(t)1(1t)22tt2，t0，2， 则 f(x2)x42x2，x，22 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2018河北唐山一中月考)已知 f(x)且 f(c2) 9 8 (1)求常数
14、c； (2)解方程 f(x) 9 8 解 (1)02xm 在1，1上恒成立， 即 x23x1m0 在1，1上恒成立 设 g(x)x23x1m， 其图象的对称轴为直线 x ， 3 2 所以 g(x)在1，1上单调递减 故只需 g(1)0，即 12311m0，解得 m1 故实数 m 的取值范围是(，1) 3 (2018广西河池月考)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)2f(x1)， 且f(x) 在区间0，1)上有表达式 f(x)x2 (1)求 f(1)，f(15)； (2)写出 f(x)在区间2，2上的表达式 解 (1)由题意知 f(1)2f(11)2f(0)0， f(15)f(105) f(
15、05) 1 2 1 2 1 4 1 8 (2)当 x0，1)时，f(x)x2； 当 x1，2)时，x10，1)， f(x) f(x1) (x1)2， 1 2 1 2 f(2) f(1) f(0)0； 1 2 1 4 当 x1，0)时，x10，1)， f(x)2f(x1)2(x1)2； 当x2， 1)时， x11， 0)， f(x)2f(x1)22(x11)2 4(x2)2 所以 f(x) 4(2018山西 45 校第一次联考)某公司研发出一款产品，批量生产前先在某 城市销售 30 天进行市场调查调查结果发现：日销量 f(t)与天数 t 的对应关系服从 图所示的函数关系：每件产品的销售利润 h(
16、t)与天数 t 的对应关系服从图所示 的函数关系图由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段 AB 组成 (1)设该产品的日销售利润 Q(t)(0t30，tN)，分别求出 f(t)，h(t)，Q(t)的 解析式； (2)若在 30 天的销售中，日销售利润至少有一天超过 8500 元，则可以投入批 量生产，该产品是否可以投入批量生产，请说明理由 解 (1)f(t) h(t) 由题可知，Q(t)f(t)h(t)， 当 0t10 时， Q(t)t24t20t2t380t2； 1 10 当 10t20 时， Q(t)t24t20020t2800t； 1 10 当 20t30 时， Q(t)(t60)200200t12000 Q(t) (2)该产品不可以投入批量生产，理由如下： 当 0t10 时，Q(t)maxQ(10)6000， 当 10t20 时，Q(t)maxQ(20)8000， 当 20t30 时，Q(t)Q(20)8000， Q(t)的最大值为 Q(20)80008500 在一个月的销售中，没有一天的日销售利润超过 8500 元，不可以投入批量 生产