《2020届高考数学理一轮（新课标通用）考点测试：54 抛物线 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学理一轮（新课标通用）考点测试：54 抛物线 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、考点测试 54 抛物线 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为 5 分或 12 分，中、高等难度 考纲研读 1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率) 2理解数形结合的思想 3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用 一、基础小题 1抛物线 y x2的准线方程是( ) 1 4 Ay1 By2 Cx1 Dx2 答案 A 解析 依题意，抛物线 x24y 的准线方程是 y1，故选 A 2设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线准线的距 离为( ) A4 B6 C8 D12 答案 B 解析
2、依题意得，抛物线 y28x 的准线方程是 x2，因此点 P 到该抛物线 准线的距离为 426，故选 B 3到定点 A(2，0)与定直线 l：x2 的距离相等的点的轨迹方程为( ) Ay28x By28x Cx28y Dx28y 答案 A 解析 由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且 p4，焦点在 x 轴正半轴上， 故选 A 4 若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的32 倍，则 p 等于( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 由题意 3x0x0 ，x0 ，则2，p0，p2，故选 D p 2 p 4 p2 2 5 过抛物线 y24x 的焦点作直
3、线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， 若 x1x2 6，则|AB|等于( ) A4 B6 C8 D10 答案 C 解析 由抛物线y24x得p2， 由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x2 2，又因为 x1x26，所以|AB|8，故选 C 6若抛物线 y4x2上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点为( ) A(1，2) B(0，0) C，1 D(1，4) 1 2 答案 C 解析 解法一：根据题意，直线 y4x5 必然与抛物线 y4x2相离，抛物线 上到直线的最短距离的点就是与直线 y4x5 平行的抛物线的切线的切点 由 y 8x4得x ， 故抛物线的斜率为4的切线
4、的切点坐标是 ， 1， 该点到直线y4x 1 2 1 2 5 的距离最短故选 C 解法二：抛物线上的点(x，y)到直线 y4x5 的距离是 d |4xy5| 17 ，显然当 x 时，d 取得最小值，此时 y1故选 C |4x4x25| 17 4x1 2 24 17 1 2 7已知动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _ 答案 y24x 解析 设动圆的圆心坐标为(x， y)， 则圆心到点(1， 0)的距离与其到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x 8已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上
5、的 一点，且满足|NF|MN|，则NMF_ 3 2 答案 6 解析 过 N 作准线的垂线，垂足是 P，则有|PN|NF|， |PN|MN|， NMFMNP 又 cosMNP， MNP ， 即NMF 3 2 3 2 6 6 二、高考小题 9(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且斜率为2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则( )FM FN A5 B6 C7 D8 答案 D 解析 根据题意，过点(2，0)且斜率为 的直线方程为 y (x2)，与抛物 2 3 2 3 线方程联立Error!消去 x 并整理， 得 y26y80， 解得 M(1， 2)， N(4，
6、4)， 又 F(1， 0)， 所以(0，2)，(3，4)，从而可以求得03248，故选 DFM FN FM FN 10(2017全国卷)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂 直的直线 l1， l2， 直线 l1与 C 交于 A， B 两点， 直线 l2与 C 交于 D， E 两点， 则|AB|DE| 的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 答案 A 解析 因为 F 为 y24x 的焦点，所以 F(1，0) 由题意直线 l1，l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，故直线 l1，l2的方程分别为 yk(x1)， 1 k y (x
7、1) 1 k 由Error!得 k2x2(2k24)xk20 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2，x1x21， 2k24 k2 所以|AB|x1x2|1k2 1k2 x 1x224x1x2 1k2 2k24 k2 24 41k2 k2 同理可得|DE|4(1k2) 所以|AB|DE|4(1k2)4 11k284k2 842 41k2 k2 1 k2 1 k2 16， 当且仅当 k2 ，即 k1 时，取得等号故选 A 1 k2 11(2018全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜 率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则 k_
8、 答案 2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 所以 y y 4x14x2， 2 12 2 所以 k y1y2 x1x2 4 y1y2 取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别 为 A，B 因为AMB90，所以|MM| |AB| (|AF|BF|) (|AA|BB|) 1 2 1 2 1 2 因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴 因为 M(1，1)，所以 y01，则 y1y22，所以 k2 12 (2018北京高考)已知直线 l 过点(1， 0)且垂直于 x 轴 若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4
9、，则抛物线的焦点坐标为_ 答案 (1，0) 解析 由题意得 a0， 设直线 l 与抛物线的两交点分别为 A， B， 不妨令 A 在 B 的上方， 则 A(1， 2)， B(1， 2)， 故|AB|44， 得 a1， 故抛物线方程为 y24x，aaa 其焦点坐标为(1，0) 13 (2017天津高考)设抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线为 l 已知点 C 在 l 上， 以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A若FAC120，则圆的方程为 _ 答案 (x1)2(y)213 解析 由 y24x 可得点 F 的坐标为(1，0)，准线 l 的方程为 x1 由圆心 C 在 l 上， 且圆 C
10、与 y 轴正半轴相切(如图)， 可得点 C 的横坐标为1， 圆的半径为 1，CAO90又因为FAC120， 所以OAF30，所以|OA|，所以点 C 的纵坐标为33 所以圆的方程为(x1)2(y)213 三、模拟小题 14(2018沈阳监测)抛物线 y4ax2(a0)的焦点坐标是( ) A(0，a) B(a，0) C D (0， 1 16a)( 1 16a，0) 答案 C 解析 将 y4ax2(a0)化为标准方程得 x2y(a0)，所以焦点坐标为 1 4a ，故选 C (0， 1 16a) 15(2018太原三模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， 直线 PF
11、 与抛物线交于 M，N 两点，若3，则|MN|( )PF MF A B8 C16 D 16 3 8 3 3 答案 A 解析 由题意 F(1，0)，设直线 PF 的方程为 yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2， y2) 因为准线方程为x1， 所以得P(1， 2k) 所以(2， 2k)，(1x1， PF MF y1)，因为3，所以 23(1x1)，解得 x1 把 yk(x1)代入 y24x，PF MF 1 3 得k2x2(2k24)xk20， 所以x1x21， 所以x23， 从而得|MN|MF|NF|(x1 1)(x21)x1x22故选 A 16 3 16(2018豫南九校联考)已知点 P 是
12、抛物线 x24y 上的动点，点 P 在 x 轴上 的射影是点 Q，点 A 的坐标是(8，7)，则|PA|PQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 答案 C 解析 延长PQ与准线交于M点， 抛物线的焦点为F(0， 1)， 准线方程为y1， 根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1|PA|PQ|PA|PM|1|PA| |PF|1|AF|11101982712 当且仅当 A， P， F 三点共线时， 等号成立， 则|PA|PQ|的最小值为 9 故选 C 17 (2018青岛质检)已知点 A 是抛物线 C： x22py(p0)的对称轴与准线的交 点，过点 A 作抛物线 C 的两条切线，切点分
13、别为 P，Q，若APQ 的面积为 4，则 实数 p 的值为( ) A B1 C D2 1 2 3 2 答案 D 解析 解法一 ： 设过点A且与抛物线C相切的直线为ykx 由Error!得x2 p 2 2pkxp20由 4p2k24p20，得 k1，所以得点 Pp， p 2 Qp，所以APQ 的面积为 S 2pp4，解得 p2故选 D p 2 1 2 解法二：如图，设点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)由题意得点 A0， yx2，求导得 y x，所以切线 PA 的 p 2 1 2p 1 p 方程为 yy1 x1(xx1)，即 y x1xx ，切线 PB 的方程为 yy2 x2(xx2)， 1
14、 p 1 p 1 2p 2 1 1 p 即 y x2xx ，代入 A0， ，得点 Pp，Qp，所以APQ 的面积为 S 1 p 1 2p 2 2 p 2 p 2 p 2 2pp4，解得 p2故选 D 1 2 18 (2018沈阳质检一)已知抛物线 y24x 的一条弦 AB 恰好以 P(1， 1)为中点， 则弦 AB 所在直线的方程是_ 答案 2xy10 解析 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 A， B 都在抛物线上， 可得Error!作差得(y1 y2)(y1y2)4(x1x2) 因为 AB 中点为 P(1， 1)， 所以 y1y22， 则有 24， y1y2 x1x2 所
15、以 kAB2，从而直线 AB 的方程为 y12(x1)，即 2xy10 y1y2 x1x2 一、高考大题 1(2018全国卷)设抛物线 C：y22x，点 A(2，0)，B(2，0)，过点 A 的 直线 l 与 C 交于 M，N 两点 (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程； (2)证明：ABMABN 解 (1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2， 可得 M 的坐标为(2， 2)或(2， 2) 所以直线 BM 的方程为 y x1 或 y x1 1 2 1 2 (2)证明 ： 当l与x轴垂直时， AB为线段MN的垂直平分线， 所以ABMABN 当直线 l 与 x 轴不垂直
16、时， 设直线 l 的方程为 yk(x2)(k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x10，x20 由Error!得 ky22y4k0，可知 y1y2 ，y1y24 2 k 直线 BM，BN 的斜率之和为 kBMkBN y1 x12 y2 x22 x2y1x1y22y1y2 x 12x2 2 将 x1 2，x2 2 及 y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得 y1 k y2 k x2y1x1y22(y1y2)2y 1y24ky1y2 k 0 所以 kBMkBN0， 可知 BM， BN 的倾斜角互补， 所以ABM 88 k ABN 综上，ABMABN 2 (2018浙江高考)如
17、图， 已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点， 抛物线C： y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2 1(x0， 解得 kb0)， x2 a2 y2 b2 把点(2，0)， ，代入可得 a24，b21，2 2 2 所以椭圆 C1的标准方程为 y21 x2 4 (2)由抛物线的标准方程可得 C2的焦点 F(1，0)， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1 直线 l 交椭圆 C1于点 M1， ，N1， 3 2 3 2 0，不满足题意OM ON 当直线 l 的斜率存在时
18、， 设直线 l 的方程为 yk(x1)， 并设点 M(x1， y1)， N(x2， y2) 由Error!消去 y，得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是 x1x2， 8k2 14k2 x1x2 4k2 1 14k2 则 y1y2k(x11)k(x21) k2x1x2(x1x2)1 k21 4k2 1 14k2 8k2 14k2 3k2 14k2 由得 x1x2y1y20 OM ON 将代入式，得0， 4k2 1 14k2 3k2 14k2 k24 14k2 解得k2， 所以存在直线l满足条件， 且l的方程为2xy20或2xy2 0 6 (2018石家庄质检二)已知圆 C： (xa)2
19、(yb)2 的圆心 C 在抛物线 x2 9 4 2py(p0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切 (1)求该抛物线的方程； (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别在 A，B 处作抛物线 的两条切线交于点 P，求PAB 面积的最小值及此时直线 l 的方程 解 (1)由已知可得圆心 C(a，b)， 半径 r ，焦点 F0，准线 y ，因为圆 C 与抛物线 F 的准线相切，所 3 2 p 2 p 2 以 b 又因为圆 C 过原点，且圆 C 过焦点 F，所以圆心 C 必在线段 OF 的 3 2 p 2 垂直平分线上，即 b ，所以 ，解得 p2， p 4 3 2 p 2
20、 p 4 所以抛物线的方程为 x24y (2)易得焦点 F(0， 1)， 直线 l 的斜率必存在， 设为 k， 即直线 l 的方程为 ykx1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由Error!得 x24kx40，0， 所以 x1x24k，x1x24， 对 y 求导得 y ，即 kAP x2 4 x 2 x1 2 直线 AP 的方程为 yy1 (xx1)， x1 2 即 y x x ， x1 2 1 4 2 1 同理得直线 BP 的方程为 y x x x2 2 1 4 2 2 设点 P(x0，y0)，联立直线 AP 与 BP 的方程， 解得Error!即 P(2k，1)，所以|AB|x1x2|4(1k2)，点 P 到直线 AB1k2 的距离 d2， 所以PAB 的面积 S 4(1k2)24(1k2) |2k22| 1k2 1k2 1 2 1k2 3 2 4， 当且仅当 k0 时取等号 综上，PAB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y1