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1、考点测试 29 等差数列 高考概览 本考点是高考必考知识点， 常考题型为选择题、 填空题和解答题， 分值 5 分、 12 分，中、低等难度 考纲研读 1理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的 问题 4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 一、基础小题 1 已知an为等差数列， 其前 n 项和为 Sn， 若 a11， a35， Sn64， 则 n( ) A6 B7 C8 D9 答案 C 解析 因为 d2， 所以 Snna1dnn(n1)64， 解得 n a3a1 2 nn1 2 8故选 C 2在等差数列
2、an中，已知 a3a810，则 3a5a7( ) A10 B18 C20 D28 答案 C 解析 由题意可知 a3a8a5a610， 所以 3a5a72a5a5a72a52a6 20，故选 C 3 已知Sn是数列an的前n项和， 且Sn1Snan3， a4a523， 则S8( ) A72 B88 C92 D98 答案 C 解析 由 Sn1Snan3 得 an1an3，所以an为等差数列，公差为 3， 由 a4a523 得 2a17d23，所以 a11，S88 87392故选 C 1 2 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a11，公差 d2，Sk2Sk24， 则 k( ) A8 B7
3、C6 D5 答案 D 解析 由 a11，公差 d2，得通项 an2n1，又 Sk2Skak1ak2，所 以 2k12k324，解得 k5故选 D 5已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2a8a1130，则 S13( ) A130 B65 C70 D140 答案 A 解析 设等差数列an的首项为 a1， 公差为 d， 由 a2a8a1130， 可得 a16d 10，故 S1313(a16d)130故选 A 13a1a13 2 6设an是公差不为 0 的等差数列，且 a a a a ，则该数列的前 10 项 2 42 52 62 7 和 S10( ) A10 B5 C0 D5 答案 C
4、解析 由 a a a a 得 a a a a ，即(a4a6)(a4a6)(a7a5)(a7 2 42 52 62 72 42 62 72 5 a5)， 也即2d2a52d2a6， 由 d0， 得 a6a5a1a100， 所以 S105(a1a10) 0故选 C 7在等差数列an中，已知 S41，S84，设 Sa17a18a19a20，则 S 的 值为( ) A8 B9 C10 D11 答案 B 解析 由 S41，S84 得 S8S43，所以 S12S85，所以 S16S127，所 以 SS20S169故选 B 8 等差数列an的前 n 项和为 Sn 已知 am1am1a 0， S2m138，
5、 则 m 2 m _ 答案 10 解析 因为 am1am1a 0，数列an是等差数列，所以 2ama 0，解 2 m2 m 得 am0 或 am2 又 S2m138， 所以 am0 不符合题意， 所以 am2 所以 S2m1 (2m1)am38，解得 m10 2m1a1 a2m1 2 二、高考小题 9(2018全国卷)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3S2S4，a12， 则 a5( ) A12 B10 C10 D12 答案 B 解析 设该等差数列的公差为 d， 根据题中的条件可得 3(3 23 2 2 d) 22d42d，解得 d3，所以 a5a14d21210，故 4 3 2
6、选 B 10 (2017全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4a524， S648， 则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 答案 C 解析 在等差数列an中，S648，则 a1a616a2 a 1a6 6 2 a5又 a4a524，所以 a4a22d24168，得 d4故选 C 11(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0若 a2，a3，a6成 等比数列，则an前 6 项的和为( ) A24 B3 C3 D8 答案 A 解析 设等差数列an的公差为 d， 依题意得 a a2a6， 即(12d)2(1d)(1 2 3 5d)，解得 d2 或 d0(舍去)，
7、又 a11，所以 S661(2) 6 5 2 24故选 A 12 (2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27， a108， 则 a100( ) A100 B99 C98 D97 答案 C 解析 设an的公差为 d，由等差数列的前 n 项和公式及通项公式，得Error! 解得 Error!ana1(n1)dn2，所以 a100100298故选 C 13(2018北京高考)设an是等差数列，且 a13，a2a536，则an的通项 公式为_ 答案 an6n3 解析 设等差数列an的公差为 d，则 a2a5a1da14d2a15d6 5d36，d6，ana1(n1)d36(n1)6n3
8、14 (2016江苏高考)已知an是等差数列， Sn是其前n项和 若a1a 3， S5 2 2 10，则 a9的值是_ 答案 20 解析 设等差数列an的公差为 d，则由题设可得 Error!解得Error!从而 a9a18d20 三、模拟小题 15(2018深圳 4 月调研)设 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1S33， 则 S4的值为( ) A3 B0 C3 D6 答案 B 解析 解法一 ： 由 S33a23， 得 a21， 又 a13， 则公差 d2， 故 S4a1a2 a3a431(1)(3)0，故选 B 解法二：a2a3S3a10，则 S42(a2a3)0，故选 B 16
9、(2018青岛质检)已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a6 3a4，且 S9a4，则 的值为( ) A18 B20 C21 D25 答案 A 解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d由 a63a4，得 a15d3(a1 3d)，所以 a12d由 S9a4，得 9a136d(a13d)，代入 a12d，得 18故选 A 17(2018沈阳质检一)在等差数列an中，若 Sn为其前 n 项和，2a7a85， 则 S11的值是( ) A55 B11 C50 D60 答案 A 解析 依题意有 a7(a8a7)5，即 a7d5(d 为an的公差)，亦即 a6 5从而 S1
10、111a611555故选 A 18(2018安徽江南十校模拟)九章算术是我国古代的数学名著，书中 均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得 几何”其意思为“已知 A，B，C，D，E 五人分 5 钱，A，B 两人所得与 C，D，E 三人所得相同，且 A，B，C，D，E 每人所得依次成等差数列问五人各得多少 钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E 所得为( ) A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 2 3 4 3 5 6 3 2 答案 A 解析 由题意，设 A 所得为 a4d，B 所得为 a3d，C 所得为 a2d，D 所 得为 ad，E 所得为 a，则Error!
11、解得 a ，故 E 所得为 钱故选 A 2 3 2 3 19(2018衡阳二模)已知在等差数列an中，10 时，n 的最大值为( ) A11 B12 C13 D14 答案 B 解析 由数列an为等差数列，且它的前 n 项和 Sn有最大值，可得 d0， a71， 得0， 所以 a6a70， 所以 a1 a7 a6 a7 a6 a7 a6 a6a7 a6 a120，所以 S120，又 S1313a70 时，n 的最大值为 12，故选 B 20(2018合肥质检三)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且数列为等差数列， Sn n 若 S21，S2018S20165，则 S2018_ 答案 3027
12、解析 依题意， 设xny(x， yR)， 则 2xy， 且 S2018S201620182x Sn n S2 2 1 2 2018y(20162x2016y)5， 联立可解得 x， y 则 Snn2 1 2016 503 1008 1 2016 503 1008 n，S20183027 一、高考大题 1 (2018全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 已知 a17， S315 (1)求an的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn的最小值 解 (1)设an的公差为 d，由题意，得 3a13d15 由 a17，得 d2 所以an的通项公式为 an7(n1)22n9 (2)由(1)，得 S
13、nn(7)2n28n(n4)216 nn1 2 所以当 n4 时，Sn取得最小值，最小值为16 2(2018北京高考)设an是等差数列，且 a1ln 2，a2a35ln 2 (1)求an的通项公式； (2)求 ea1ea2ean 解 (1)设an的公差为 d 因为 a2a35ln 2，所以 2a13d5ln 2 又 a1ln 2，所以 dln 2 所以 ana1(n1)dnln 2 (2)因为 ea1eln 22，eanan1eln 22， ean ean1 所以ean是首项为 2，公比为 2 的等比数列 所以 ea1ea2ean22(2n1)2n12 12n 12 3(2017全国卷)记 S
14、n为等比数列an的前 n 项和已知 S22，S36 (1)求an的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 解 (1)设an的公比为 q，由题设可得 Error! 解得 q2，a12 故an的通项公式为 an(2)n (2)由(1)可得 Sn (1)n a11qn 1q 2 3 2n1 3 由于 Sn2Sn1 (1)n 4 3 2n32n2 3 2 (1)n2Sn， 2 3 2n1 3 故 Sn1，Sn，Sn2成等差数列 二、模拟大题 4 (2018福建龙岩检测)已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)， a1 2，令 bn 1 an1 (1)证明：
15、数列bn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 解 (1)证明： 1 an11 1 an1 anan1 a n11an 1 ，bn1bn ，数列bn是等差数列 1 3 1 3 (2)由(1)及 b11，知 bn n ， 1 a11 1 21 1 3 2 3 an1，an 3 n2 n5 n2 5(2018福建外国语中学调研)已知等差数列an的公差 d0，前 n 项和为 Sn， 且 a2a345，S428 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn(c 为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求 c 的值 Sn nc 解 (1)S428，28， a 1a4 4 2 a1a414，a2a314，
16、 又 a2a345，公差 d0， a2a3，a25，a39， Error!解得Error! an4n3 (2)由(1)知 Sn2n2n，bn， Sn nc 2n2n nc b1，b2，b3 1 1c 6 2c 15 3c 又bn是等差数列， b1b32b2， 即 2， 6 2c 1 1c 15 3c 解得 c (c0 舍去) 1 2 6(2019河南郑州质检)在数列an中，an1an2n44(nN*)，a123 (1)求 an； (2)设 Sn为an的前 n 项和，求 Sn的最小值 解 (1)an1an2n44(nN*)， an2an12(n1)44， 由，得 an2an2 又a2a1244，
17、a123，a219， 同理得，a321，a417 故 a1，a3，a5，是以 a1为首项，2 为公差的等差数列，a2，a4，a6，是以 a2 为首项，2 为公差的等差数列 从而 anError! (2)当 n 为偶数时， Sn(a1a2)(a3a4)(an1an) (2144)(2344)2(n1)44 213(n1) 4422n， n 2 n2 2 故当 n22 时，Sn取得最小值为242 当 n 为奇数时， Sna1(a2a3)(a4a5)(an1an) a1(2244)2(n1)44 a1224(n1)(44) n1 2 2322(n1) n1n1 2 22n n2 2 3 2 故当 n21 或 n23 时，Sn取得最小值243 综上所述：当 n 为偶数时，Sn取得最小值为242；当 n 为奇数时，Sn取得最 小值为243