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1、考点测试 52 古典概型 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读 1理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率 一、基础小题 1 某银行储蓄卡上的密码是一个 6 位数号码， 每位上的数字可以在 09 这 10 个数字中选取某人未记住密码的最后一位数字，如果随意按密码的最后一位数 字，则正好按对密码的概率是( ) A B C D 1 106 1 105 1 102 1 10 答案 D 解析 只考虑最后一位数字即可，从 0 到 9 这 10 个数字中随机选一个的概率 为 1 10 2一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食
2、物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机 地选择一条路径，则它能获得食物的概率为( ) A B 1 2 1 3 C D 3 8 5 8 答案 B 解析 该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找到食物，所以获得食物的概率为 2 6 1 3 3天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟 的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率可利用计算机产生 0 到 9 之间的整数 值的随机数，如果我们用 1，2，3，4 表示下雨，用 5，6，7，8，9，0 表示不下雨， 顺次产生的随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 631 257 393 0
3、27 556 488 730 113 137 989 则这三天中恰有两天下雨的概率约为( ) A B C D 13 20 7 20 9 20 11 20 答案 B 解析 由题意知这 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271， 932，812，631，393，137，共 7 组随机数，所求概率为 7 20 4给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电 话的概率是( ) A B C D 1 6 1 3 1 2 2 3 答案 B 解析 给三人打电话的不同顺序有 6 种可能，其中第一个给甲打电话的可能 有 2 种，故所求概率为 P 2 6 1 3 5小敏打开计算
4、机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能 够成功开机的概率是( ) A B C D 8 15 1 8 1 15 1 30 答案 C 解析 (M， 1)， (M， 2)， (M， 3)， (M， 4)， (M， 5)， (I， 1)， (I， 2)， (I， 3)， (I， 4)， (I， 5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，事件总数有 15 种正确的 开机密码只有 1 种，P故选 C 1 15 6某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能 的，能否
5、准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则 下列说法正确的是( ) A一定不会淋雨 B淋雨机会为3 4 C淋雨机会为 D淋雨机会为 1 2 1 4 答案 D 解析 用 A，B 分别表示下雨和不下雨，用 a，b 表示帐篷运到和运不到，则 所有可能情形为(A， a)， (A， b)， (B， a)， (B， b)， 则当(A， b)发生时就会被雨淋到， 淋雨的概率为 P 故选 D 1 4 7某汽车站每天上午均有 3 辆开往 A 景点的分上、中、下等级的客车某天 王先生准备在该汽车站乘车去 A 景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺 序为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先
6、放过第一辆，如果第二辆比第 一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( ) A B C D 1 6 1 3 1 2 2 3 答案 C 解析 共有 6 种发车顺序：上、中、下；上、下、中；中、上、下； 中、下、上；下、中、上；下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车)，所 以他乘上上等车的概率为 ，故选 C 3 6 1 2 8一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为 27 个同样大小的小正方体， 从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是_ 答案 2 9 解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个 面涂有红色，故所求概率为 6 27 2 9 二、高考小题 9
7、(2018全国卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则 选中的 2 人都是女同学的概率为( ) A06 B05 C04 D03 答案 D 解析 设 2 名男同学为 A1，A2，3 名女同学为 B1，B2，B3，从以上 5 名同学中 任选 2 人总共有 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3 共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有 B1B2，B1B3，B2B3共三种可能， 则选中的 2 人都是女同学的概率为 P03故选 D 3 10 10(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分
8、别为红、黄、蓝、 绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红 色彩笔的概率为( ) A B C D 4 5 3 5 2 5 1 5 答案 C 解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、 红蓝、 红绿、 红紫、 黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红 色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P 故 4 10 2 5 选 C 11(2017全国卷)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张， 放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片
9、上的数的概 率为( ) A B C D 1 10 1 5 3 10 2 5 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的基本事件总数 为 5525，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概 率 P 故选 D 10 25 2 5 12 (2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1， 2， 3， 4， 5，6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 _ 答案 5 6 解析 先后抛掷 2 次骰子，所有可能出现的情况共 36 个，其中点数之和不小 于 10 的有(4，6)，(5，5)，(5，
10、6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共 6 个，从而点数之 和小于 10 的有 30 个，故所求概率 P 30 36 5 6 三、模拟小题 13(2018广东茂名第一次综合测试)在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个 数，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是( ) A B C D 1 4 1 3 1 2 3 4 答案 A 解析 在 1， 2， 3， 6 中随机取出三个数， 所有的可能结果为(1， 2， 3)， (1， 2， 6)， (1， 3， 6)， (2， 3， 6)， 共 4 种， 其中数字 2 是这三个不同数字的平均数的结果有(1， 2， 3)， 共 1 种由古典概型
11、概率公式可得所求概率为 P 故选 A 1 4 14(2018山东济南二模)某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中 有编号为 1，2，3，4，5 的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若 摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为( ) A B C D 1 10 1 5 3 10 2 5 答案 C 解析 由题得试验的所有基本事件有 ： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (1， 5)， (2， 3)， (2， 4)， (2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共 10 个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本 事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)
12、，共 3 个，由古典概型的概率公式得 P故选 C 3 10 15(2018石家庄重点高中摸底考试)一个三位数，个位、十位、百位上的数 字依次为 x，y，z，当且仅当 yx，yz 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从 集合1， 2， 3， 4中取出三个不相同的数组成一个三位数， 则这个三位数是 “凸数” 的概率为( ) A B C D 2 3 1 3 1 6 1 12 答案 B 解析 从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有 24 个 结果 ： 123， 124， 132， 134， 142， 143， 213， 214， 231， 234， 241， 243， 312
13、， 314， 321， 324， 341， 342， 412， 413， 421， 423， 431， 432， 其中是 “凸数” 的是 132， 142， 143， 231， 241， 243，341，342，共 8 个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为 故选 B 8 24 1 3 16(2018山西孝义一模)从装有大小材质完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的 不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是( ) A B C D 2 3 1 2 2 5 1 3 答案 C 解析 记 3 个红球分别为 a，b，c，3 个黑球分别为 x，y，z，则随机取出两 个小球共有 15 种可能
14、 ： ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz， 其中两个小球同色共有 6 种可能，ab，ac，bc，xy，xz，yz，根据古典概型概率公 式可得所求概率为 ，故选 C 6 15 2 5 17(2018江西南昌二模)在周易中，长横“_”表示阳爻，两个短横“_”表 示阴爻， 有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦， 共有 238 种组合方法， 这便是 系 辞传所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦” ，有放回地取阳爻和阴爻 一次有 2 种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回 地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况即为八卦，在一次卜
15、卦中，恰好出现两个 阳爻一个阴爻的概率是( ) A B C D 1 8 1 4 3 8 1 2 答案 C 解析 由题意知，所有可能出现的情况有 ： (阳，阳，阴)，(阳，阴，阳)，(阴， 阳，阳)，(阴，阴，阳)，(阴，阳，阴)，(阳，阴，阴)，(阳，阳，阳)，(阴，阴，阴)， 共 8 种，恰好出现两个阳爻、一个阴爻的情况有 3 种，利用古典概型的概率计算 公式，可得所求概率为 故选 C 3 8 18(2018广东深圳一调)两名同学分 3 本不同的书，其中一人没有分到书， 另一人分得 3 本书的概率为( ) A B C D 1 2 1 4 1 3 1 6 答案 B 解析 记三本不同的书为 a，
16、 b， c， 两人分书的基本结果用(x， y)表示， 有(0， abc)， (a，bc)，(b，ac)，(c，ab)，(ab，c)，(ac，b)，(bc，a)，(abc，0)，共 8 种情况， 其中一人没有分到书，另一人分得 3 本书有两种情况，所以一人没有分到书，另 一人分得 3 本书的概率为 ，故选 B 2 8 1 4 一、高考大题 1 (2018天津高考)已知某校甲、 乙、 丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240， 160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动 (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用
17、 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率 解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于 采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志 愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人 (2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G， C， D， C
18、， E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G， 共 21 种 由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级 的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学 来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G， 共 5 种所以事件 M 发生的概率 P(M) 5 21 2(2017山东高考)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲 国家 B1，B2，B3中选择 2 个国家去旅游 (1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)
19、若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个， 求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1 的概率 解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基 本事件有： A1， A2， A1， A3， A2， A3， A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有 ： A1，A2，A1，A3， A2，A3，共 3 个 则所求事件的概率为 P 3 15 1 5 (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个
20、，其一切可能的结果组成的基本事件 有： A1， B1， A1， B2， A1， B3， A2， B1， A2， B2， A2， B3， A3， B1， A3， B2， A3， B3，共 9 个 包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有 ： A1， B2， A1， B3， 共 2 个， 则所求事件的概率为 P 2 9 3(2016山东高考) 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参 加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记 录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x，y奖励规则如下： 若 xy3，则奖励玩具一个； 若 xy8，则奖励水杯一个； 其余情
21、况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 解 用数对(x， y)表示儿童参加活动先后记录的数， 则基本事件空间 与点集 S (x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应 因为 S 中元素的个数是 4416， 所以基本事件总数 n16 (1)记“xy3”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1) 所以 P(A)，即小亮获得玩具的概率为 5 16 5 16 (2)记“xy8”为事件 B，“3， 3 8 5
22、16 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 二、模拟大题 4 (2018安徽合肥第二次教学质量检测)某班级甲、 乙两个小组各有 10 位同学， 在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下： 甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98； 乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82 (1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图， 判断哪一个小组同学的成绩差异较大， 并说明理由； (2)从这两个小组成绩在 90 分以上的同学中， 随机选取 2 人在全班介绍学习经 验，求选出的 2 位同学不在同一个小组的概率 解 (1)茎叶图如图： 由茎叶图中数据分布可知，甲组数
23、据分布比较分散，乙组数据分布相对集中， 所以甲组同学的成绩差异较大 (也可通过计算方差说明，s 1016，s 374，s s ) 2 甲 2 乙 2 甲 2 乙 (2)设甲组成绩在 90 分以上的三位同学为 A1，A2，A3；乙组成绩在 90 分以上 的三位同学为 B1，B2，B3从这 6 位同学中选出 2 位同学，共有 15 个基本事件， 列举如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)； (A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)； (A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)； (B1，B2)，(B1，B3)； (B2，B3
24、) 其中，从这 6 位同学中选出的 2 位同学不在同一个小组的基本事件有 9 个， 所以所求概率 P 9 15 3 5 5(2018江西新余一中第七次模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活 动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给 予相应优惠，标准如下表： 消费次数第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次5 次及以上 收费比例1095090085080 该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下表： 消费次数第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次5 次及以上 频数60201055 假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，
25、根据所给数据，解答下列问题： (1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率； (2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润； (3)该公司要从这 100 位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法 抽出 8 人，再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品，求抽出的 2 人中恰有 1 人消费两 次的概率 解 (1)100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 位，所以估计一位会员至少 消费两次的概率为04 40 100 (2)该会员第 1 次消费时，公司获得的利润为 20015050(元)， 第 2 次消费时，公司获得的利润为 20009515040(元)，所以，公司获 得的平均利
26、润为45(元) 5040 2 (3)因为 2010554211，所以用分层抽样方法抽出的 8 人中，消 费 2 次的有 4 人，分别设为 A1，A2，A3，A4，消费 3 次的有 2 人，分别设为 B1，B2， 消费 4 次和 5 次及以上的各有 1 人，分别设为 C，D，从中抽出 2 人，抽到 A1的 有 A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共 7 种； 去掉 A1后，抽到 A2的有 A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共 6 种； 去掉 A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到 C 的有：CD，共 1 种，总的抽取方法 有 765432128 种， 其中恰有 1 人消费两次的抽取方法有 444416 种， 所以，抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为 16 28 4 7