《2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第28讲 平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习：第四章 第28讲 平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 28 讲 平面向量基本定理及坐标表示讲 平面向量基本定理及坐标表示 夯实基础 【p66】 【学习目标】 1了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线的条 件 【基础检测】 1下列关于基底的说法正确的是( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 A B C D 【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确 【答案】C 2已知向量 a(1，1)，b(2，x)，
2、若(ab)(4b2a)，则实数 x 的值是( ) A2 B3 C. D2 1 2 【解析】因为 a(1，1)，b(2，x)， 所以 ab(3，1x)，4b2a(6，4x2) 因为(ab)(4b2a)， 所以 3(4x2)6(1x)0，解得 x2.故选 D. 【答案】D 3已知 x、y 是实数，向量 a，b 不共线，若(xy1)a(xy)b0，则 x_，y _ 【解析】由已知得 xy10， xy0) x1 2， y1 2.) 【答案】 1 2 1 2 4 已知点 A(1， 0)， B(0， 2)， C(1， 2)， 则平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标为_ 【解析】设 D(x，y)，AB
3、DC (1，2)(1x，2y)，D(0，4) 【答案】(0，4) 【知识要点】 1平面向量基本定理 如果 e1和 e2是一个平面内的两个_不共线_向量，那么对于该平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2.我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有 向量的一组基底 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于 平面上任一向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.这样， 平面内的任一向量a都可由x， y唯一确定， 我们把有序数对(x， y)叫作向量a的坐标，
4、记作a(x， y)，把 a(x，y)叫作向量的坐标表示，|a|叫作向量 a 的长度(模)x2y2 3平面向量坐标运算 向量的 加减法 若 a(x1， y1)， b(x2， y2)， 则 ab_(x1x2， y1y2)_， ab_(x1 x2，y1y2)_ 实数与向量 的积 若 a(x1，y1)，R，则 a_(x1，y1)_ 向量的坐标 若起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则AB _(x2x1，y2y1)_. 4.两向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2y1x20. 典 例 剖 析 【p66】 考点考点 1 向量基本定理及应用 向量基本定理及应
5、用 (1)在下列向量组中，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )例1 Ae1(0，1)，e2(1，6) Be1(1，2)，e2(5，1) Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(1 2， 3 4) 【解析】选项 A.011，可以作为基底向量(6) 选项 B.25，可以作为基底向量(1)(1) 选项 C.3106，可以作为基底向量(5) 选项 D.2 ，不可以作为基底向量故选 D. ( 3 4) (3) 1 2 【答案】D (2)已知点 O 是ABC 内的一点， AOB150， BOC90， 设a，b，c，OA OB OC 且|a|2，|b|1，|c|3，试用 b
6、 和 c 表示 a. 【解析】以 O 为原点，OC，OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的坐标系 由 OA2，AOx120，所以 A(2cos 120，2sin 120)， 即 A(1，)，易求 B(0，1)，C(3，0)，3 设12，即(1，)1(0，1)2(3，0)，OA OB OC 3 解得ab c. 132， 31，) 1 3， 21 3.) 3 1 3 【小结】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的
7、运算来解决 考点考点 2 向量共线的坐标表示及应用 向量共线的坐标表示及应用 (1)已知梯形 ABCD， 其中 ABCD， 且 DC2AB， 三个顶点 A(1， 2)， B(2， 1)， C(4， 2)，例2 则点 D 的坐标为_ 【解析】在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB， 2.DC AB 设点 D 的坐标为(x，y)， 则(4，2)(x，y)(4x，2y)，DC (2，1)(1，2)(1，1)，AB (4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)， 解得故点 D 的坐标为(2，4) 4x2， ， 2y2， ，) x2， ， y4， ，) 【答案】(2，4) (2)已知点A(
8、4， 0)， B(4， 4)， C(2， 6)， 则AC与OB(O为坐标原点)的交点P的坐标为_ 【解析】 法一 ： 由 O， P， B 三点共线， 可设(4， 4)， 则(44，OP OB AP OP OA 4) 又(2，6)，AC OC OA 由与共线，得(44)64(2)0，解得 ，AP AC 3 4 所以(3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3)OP 3 4OB 法二 ： 设点 P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以 ，即 xy.OP OB OP OB x 4 y 4 又(x4，y)，(2，6)，且与共线，AP AC AP AC 所以(x4)6y(2)0，解得 xy
9、3， 所以点 P 的坐标为(3，3) 【答案】(3，3) 【小结】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数 如果已知两向量共线， 求某些参数的取值时， 利用 “若 a(x1， y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时， 可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可 得到所求的向量 考点 3 平面向量坐标表示与几何问题 给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点 C 在以 O 为例3
10、OA OB 2 3 圆心的上运动若xy，其中 x，yR，求 xy 的最大值AB OC OA OB 【解析】以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，OA 则 A(1，0)，B. ( 1 2， 3 2) 设AOC，则 C(cos ，sin )， ( 0， 2 3) 由xy，得OC OA OB cos x1 2y， sin 3 2 y，) 所以 xcos sin ，ysin ， 3 3 2 3 3 所以 xycos sin 2sin，3 ( 6) 又 ， 0， 2 3 所以当 时，xy 取得最大值 2. 3 【能力提升】 (1)已知(1， 2)，(a， 1)，(b， 0
11、)(其中 a0， b0， O 是坐标原点)，例4OA OB OC 若 A、B、C 三点共线，则 的最小值为_ 1 a 2 b 【解析】，AB OB OA (a1， ，1) ，AC OC OA (b1， ，2) 因为 A、B、C 三点共线，所以，AB AC 即 20，所以 2ab1，(a1)(b1) 所以 1 a 2 b ( 1 a 2 b)(2ab) 4 b a 4a b 428， b a 4a b 当且仅当即时取等号 b a 4a b ， ， 2ab1， ，) a1 4， ， b1 2) 【答案】8 (2)设两个向量 a(2，2cos2)和 b，其中 、m、 为实数，若 a2b， (m， m
12、 2sin ) 则 的取值范围是( ) m A6，1 B4，8 C1，1 D1，6 【解析】由 a2b， 知 22m， 2cos2m2sin . ) 2m2， 2mcos22sin .) 又 cos22sin sin22sin 1(sin 1)22， 2cos22sin 2， 22m(2m2)2m2， m2. 1 4 2 6，1 m 2m2 m 2 m 【答案】A 方 法 总 结 【p67】 1向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量实数对(x，y)，任何一 对应 个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一也就是说， 向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，
13、但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即 实数对(x，y)一一对应,)点 A(x，y)OA 2已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减 去始点坐标本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共 线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆 3向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量 运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结 合起来， 这样很多几何问题， 特别像共线、 共点等较难问题的证明， 就转化为熟知的数量运算， 也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法 走 进 高 考 【p67】 1(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _ 【解析】2ab2(1，2)(2，2)(4，2)，又c(2ab)，故有 4210， . 1 2 【答案】1 2