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1、第三节 三角函数的图象与性质第三节 三角函数的图象与性质 考纲传真 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象， 了解三角函数的周期性.2. 理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交 点等)，理解正切函数在区间内的单调性 ( 2 ， 2) 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数ysin x，x0,2图象的五个关键点是 ： (0,0)， (， 0)， ( 2 ，1) ，(2，0) ( 3 2 ，1) 余弦函数ycos x，x0,2图象的五个关键点是 ： (0,1)， (， 1)， ( 2 ，0) ，(2，1) ( 3 2 ，0) 2正
2、弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域R RR RError! 值域1,11,1R R 周期性周期为 2周期为 2周期为 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 递增区间： ， 2k 2 ，2k 2 kZ Z， 递减区间： ， 2k 2 ，2k3 2 kZ Z 递增区间： 2k， 2k， kZ Z， 递减区间： 2k，2k ， kZ Z 递增区间 ， (k 2 ，k 2) kZ Z 对称中心 (k，0)，kZ Z 对称中心 ， (k 2 ，0) kZ Z 对称中心 ，kZ Z ( k 2 ，0) 对称性 对称轴 xk(kZ Z) 2 对称轴 x
3、k(kZ Z) 常用结论 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的 对称中心与对称轴之间的距离是 个周期 1 4 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 (1)若f(x)Asin(x)(A，0)，则 f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ Z)； 2 f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ Z) (2)若f(x)Acos(x)(A0，0)，则 f(x)为奇函数的充要条件：k，kZ Z； 2 f(x)为偶函数的充要条件：k，kZ Z. 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)正切函数y
4、tan x在定义域内是增函数( ) (2)ysin |x|是偶函数( ) (3)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ Z)中心对称( ) (4)已知yksin x1，xR R，则y的最大值为k1. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数f(x)cos的最小正周期为( ) (x 3) A. B. C2 D2 2 2 D D T2，故选 D. 2 3函数ytan 2x的定义域是( ) A.Error! B.Error! C.Error! D.Error! D D 由 2xk，kZ Z，得x，kZ Z， 2 k 2 4 ytan 2x的定义域为Error!. 4函数ysin，x
5、2，2的单调递增区间是( ) ( 1 2x 3) A.2，5 3 B.和 2， 5 3 3 ，2 C.5 3 ， 3 D. 3 ，2 C C 令zx，函数ysin z的单调递增区间为(kZ Z)，由 1 2 32k 2 ，2k 2 2kx2k得 4kx4k，而x2，2，故其单调 2 1 2 3 2 5 3 3 递增区间是，故选 C. 5 3 ， 3 5(教材改编)函数f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集 1 3 合为_ 2 x|x6k，kZ Z f(x)min422，此时，x2k(kZ Z)，x6k(kZ Z)， 1 3 所以x的取值集合为x|x6k，kZ Z 三角函数
6、的定义域、值域 【例 1】 (1)函数y的定义域为( )2sin x 3 A. 3 ，2 3 B.(kZ Z) 2k 3 ，2k2 3 C.(kZ Z) (2k 3 ，2k2 3) D.(kZ Z) k 3 ，k2 3 (2)函数f(x)3sin在区间上的值域为( ) (2x 6)0， 2 A. B. 3 2， 3 2 3 2，3 C. D. 3 3 2 ， 3 3 2 3 3 2 ，3 (3)(2019长沙模拟)函数f(x)cos 2x6cosx的最大值为( ) 2 A4 B5 C6 D7 (1 1)B B (2 2)B B (3 3)B B (1)由 2sin x0 得 sin x，3 3
7、 2 2kx 2k(kZ Z)，故选 B. 3 2 3 (2)因为x， 0， 2 所以 2x， 6 6 ，5 6 所以 sin， (2x 6) 1 2，1 所以 3sin， (2x 6) 3 2，3 所以函数f(x)在区间上的值域是，故选 B. 0， 2 3 2，3 (3)f(x)cos 2x6coscos 2x6sin x ( 2 x) 12sin2x6sin x2 2 ， (sin x 3 2) 11 2 又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5. 故选 B. 规律方法 1三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角 不等式组，常借助三角函数线或三
8、角函数图象来求解. 2三角函数值域的不同求法 利用 sin x和 cos x的值域直接求. 把所给的三角函数式变换成yAsinx的形式求值域. 把 sin x或 cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. 利用 sin xcos x和 sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. (1)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为( ) ( x 6 3) A2 B03 C1 D1 3 (2)函数y的定义域为_ 1 tan x1 (3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_ (1 1)A A (2 2)Error! (3) (1)因为 0x9， 所以， 所以 1， 1
9、 2 2 3 x 6 3 7 6 sin. ( x 6 3) 3 2 ，1 所以y，2，所以ymaxymin2.33 (2)要使函数有意义，必须有Error! 即Error!故函数的定义域为 Error!. (3)设tsin xcos x， 则 sin xcos x(t)， t21 2 22 ytt2 (t1)21， 1 2 1 2 1 2 当t时，y取最大值为 ，22 1 2 当t1 时，y取最小值为1. 所以函数值域为. 1， 1 2 2 三角函数的单调性 【例 2】 (1)函数f(x)sin的单调减区间为_ (2x 3) (2)已知0，函数f(x)sin的一个单调递减区间为，则 (x 4
10、) 8 ，5 8 _. (3)(2018全国卷改编)若函数f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值 是_ (1 1)，kZ Z (2)2 (3) (1)f(x) sin sin k 12，k 5 12 3 4(2x 3) ，函数f(x)的单调减区间就是函数ysin的增区间 (2x 3)(2x 3) 由 2k2x2k，kZ Z， 2 3 2 得kxk，kZ Z. 12 5 12 故所给函数的减区间为，kZ Z. k 12，k 5 12 (2)由x得x. 8 5 8 8 4 4 5 8 4 又函数f(x)的单调递减区间为(kZ Z)， 2k 2 ，2k3 2 则Error!kZ
11、Z 即Error!，解得2. (3)f(x)cos xsin xcos，2 (x 4) 当x0，a时，xa， 4 4 4 由题意知a，即a，故所求a的最大值为. 4 3 4 3 4 拓展探究 本例(2)中， 若函数f(x)sin在上是减函数， 试求的 (x 4) ( 2 ，) 取值范围 解 由x，得x， 2 2 4 4 4 由题意，知，kZ Z， ( 2 4 ， 4) 2k 2 ，2k3 2 Error! 4k 2k ，kZ Z， 1 2 5 4 当k0 时， . 1 2 5 4 规律方法 三角函数单调性问题的解题策略 1已知三角函数的解析式求单调区间 求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析
12、式先化简，并注意复合函数单调性规律 “同增异减” ； 求形如yAsinx或yAcosx其中0的单调区间时，要 视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错. 2已知三角函数的单调性求参数,已知函数yAsinx的单调性求参数，可 先求tx的范围a，b，再根据a，b是函数yAsin t的单调区间的子集关系 列不等式组求解. (1)函数f(x)tan的单调递增区间是_ (2x 3) (2)若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 0， 3 3 ， 2 则_. (1)(kZ Z) (2) (1)由k2xk(kZ Z)，
13、 得 ( k 2 12， k 2 5 12) 3 2 2 3 2 x(kZ Z) k 2 12 k 2 5 12 故函数的单调递增区间为. ( k 2 12， k 2 5 12) (2)f(x)sin x(0)过原点， 当 0x，即 0x时，ysin x是增函数； 2 2 当x，即x时，ysin x是减函数 2 3 2 2 3 2 由f(x)sin x(0)在上单调递增， 0， 3 在上单调递减知， ，此时，符合题意，故 3 ， 2 2 3 3 2 3 2 2 . 3 2 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 考法 1 三角函数的周期性 【例3】 (2019大连模拟)在函数 ： ycos|2x|，
14、y|cos x|，ycos2x，y 6 tan中，最小正周期为 的所有函数为( ) (2x 4) A B C D C C ycos|2x|cos 2x，T. 由图象知，函数的周期T. T. T. 2 综上可知，最小正周期为 的所有函数为，故选 C. 考法 2 三角函数的奇偶性 【例 4】 函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值 (2x 3 ) 为_ 由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3， 5 5 6( 3) k，kZ Z，又 0， 3 2 . 5 6 考法 3 三角函数的对称性 【例 5】 (1)下列函数的最小正周期为 且图象关于直线x对称的是(
15、) 3 Ay2sin By2sin (2x 3)(2x 6) Cy2sin Dy2sin ( x 2 3)(2x 3) (2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为 ( 4 3 ，0) ( ) A. B. 6 4 C. D. 3 2 (1 1)B B (2 2)A A (1)根据函数的最小正周期为 知，排除 C， 又当x时，2x，2x，2x，故选 B. 3 3 6 2 3 3 (2)由题意得 3cos(2 4 3 ) 3cos3cos0， ( 2 3 2) ( 2 3 ) k，kZ Z， 2 3 2 k，kZ Z， 6 取k0，得|的最小值为. 6 规律方法 三角函数
16、的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路 1奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的 形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式. 2周期的计算方法：利用函数yAsinx，yAcosx0 的最小正周期为，函数yAtanx0的最小正周期为求解. 3对称性的判断：对于函数yAsinx，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点x0，0是否 是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验fx0的值进行判断. (1)(2019石家庄模拟)设函数f(x)Asin(x)(A0，0)的最小 正周期为 ，其图象关于直线x对称
17、，则|的最小值为( ) 3 A. B. 12 6 C. D. 5 6 5 12 (2)若函数ycos(N N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为 (x 6)( 6 ，0) ( ) A1 B2 C4 D8 (1 1)B B (2 2)B B (1)由题意，得2，所以f(x)Asin(2x)因为函数f(x)的图象 关于直线x对称，所以 2k(kZ Z)，即k(kZ Z)，当k0 时， 3 3 2 6 |取得最小值，故选 B. 6 (2)由题意知k(kZ Z)6k2(kZ Z)， 6 6 2 又N N*，所以min2，故选 B. 1(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为( ) (2x
18、3) A4 B2 C D. 2 C C 函数f(x)sin的最小正周期T. (2x 3) 2 2 故选 C. 2(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为( ) tan x 1tan2x A. B. 4 2 C D2 C C f(x)sin xcos x sin 2x，所以f(x)的最小 tan x 1tan2x sin x cos x 1sin 2x cos2x sin xcos x cos2xsin2x 1 2 正周期T.故选 C. 2 2 3(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是( ) (x 3) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x对称 8 3
19、Cf(x)的一个零点为x 6 Df(x)在单调递减 ( 2 ，) D D A 项， 因为f(x)cos的周期为 2k(kZ Z)， 所以f(x)的一个周期为2， A (x 3) 项正确 B 项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ Z)，所以yf(x)的 (x 3) 3 图象关于直线x对称，B 项正确 8 3 C项，f(x)cos.令xk(kZ Z)， 得xk ， 当k1时，x (x 4 3) 4 3 2 5 6 ，所以f(x)的一个零点为x，C 项正确 6 6 D 项，因为f(x)cos的递减区间为 2k，2k(kZ Z)，递增区间为 (x 3) 3 2 3 (kZ Z)，所以是减区间，是增区间，D 项错误 2k 2 3 ，2k5 3( 2 ，2 3) 2 3 ，) 故选 D. 4 (2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_3 3 4(x 0， 2) 1 1 f(x)1cos2xcos x 21. 3 3 4(cos x 3 2) x，cos x0,1， 0， 2 当 cos x时，f(x)取得最大值，最大值为 1. 3 2 自我感悟：_ _ _