《2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节三角恒等变换教学案含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节三角恒等变换教学案含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第五节 三角恒等变换第五节 三角恒等变换 考纲传真 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式 推导出两角差的正弦、正切公式 3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、 正切公式，了解它们的内在联系 4能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin_cos_cos_sin_； (2)cos()cos_cos_sin_sin_； (3)tan(). tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin
2、22sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 2. 2tan 1tan2 常用结论 1公式 T()的变形： (1)tan tan tan()(1tan tan )； (2)tan tan tan()(1tan tan ) 2公式 C2的变形： (1)sin2 (1cos 2)； 1 2 (2)cos2 (1cos 2) 1 2 3公式逆用： (1)sincos； ( 4 ) ( 4 ) (2)sincos； ( 3 ) ( 6 ) (3)sincos. ( 6 ) ( 3 ) 4辅助角公式 asin bcos sin()(其中 tan )，a
3、2b2 b a 特别的 sin cos sin；2 ( 4) sin cos 2sin；3 ( 3) sin cos 2sin.3 ( 6) 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)在锐角ABC中，sin Asin B和 cos Acos B的大小关系不确定( ) (3)公式 tan()可以变形为 tan tan tan()(1 tan tan 1tan tan tan tan )，且对任意角，都成立( ) (4)函数y3sin x4cos x的最大值为 7.( ) 答案 (1) (2) (
4、3) (4) 2(教材改编)sin 20cos 10cos 160sin 10( ) A B. C D. 3 2 3 2 1 2 1 2 D D sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10 sin(2010)sin 30 ，故选 D. 1 2 3(教材改编)已知 cos ，是第三象限角，则 cos的值为( ) 3 5( 4 ) A. B C. D 2 10 2 10 7 2 10 7 2 10 A A 由 cos ，是第三象限角知 sin ， 3 5 4 5 则 coscoscos sinsin .故选 A. ( 4 ) 4 4 2 2(
5、 3 5) 2 2( 4 5) 2 10 4已知 sin() ，则 cos 2_. 3 5 由 sin() ，得 sin ，则 7 7 2 25 5 3 5 3 5 cos 212sin212 2 . ( 3 5) 7 25 5(教材改编)_. 1 1tan 15 1 1tan 15 3 3 3 3 1 1tan 15 1 1tan 15 1tan 151tan 15 1tan 151tan 15 tan 30. 2tan 15 1tan215 3 3 三角函数式的化简 1已知 sincos，则 tan ( ) ( 6 ) ( 6 ) A1 B0 C. D1 1 2 A A 因为 sincos
6、， ( 6 ) ( 6 ) 所以 cos sin cos sin . 1 2 3 2 3 2 1 2 所以cos sin . 1 3 2 31 2 所以 tan 1，故选 A. sin cos 2计算的值为( ) sin 110sin 20 cos2155sin2155 A B. C. D 1 2 1 2 3 2 3 2 B B sin 110sin 20 cos2155sin2155 sin70sin 20 cos 310 . cos 20sin 20 cos 50 1 2sin 40 sin 40 1 2 3已知，且 sin cos ，则( ) (0， 4) 14 4 2cos21 cos
7、( 4 ) A. B. C. D. 2 3 4 3 3 4 3 2 D D 由 sin cos 14 4 得 sin， ( 4 ) 7 4 因为， (0， 4) 所以 0， 4 4 所以 cos . ( 4 ) 3 4 2cos21 cos( 4 ) cos 2 sin( 4 ) sin( 2 2) sin( 4 ) sin2( 4 ) sin( 4 ) 2cos . ( 4 ) 3 2 4已知 0，则_. 1sin cos (sin 2 cos 2) 22cos cos 原式( 2sin 2 cos 2 2cos2 2)(sin 2 cos 2) 4cos2 2 . cos 2(sin 2
8、2 cos2 2) |cos 2| cos 2 cos |cos 2| 因为 0，所以 0，所以 cos 0.所以原式cos . 2 2 2 规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函 数式时，一般需要升次 三角函数式的求值 考法 1 给值求值 【例 1】 (1)(2018全国卷)若 sin ，则 cos 2( ) 1 3 A. B. C D 8 9 7 9 7 9 8 9 (2)(2019太原模拟)已知角是锐角，若 sin ，则 cos等于
9、( 6) 1 3( 3) ( ) A. B. 2 61 6 3 2 8 C. D. 3 2 8 2 31 6 (3)若，是锐角，且 sin sin ，cos cos ，则 tan() 1 2 1 2 _. (1 1)B B (2 2)A A (3 3) (1)cos 212sin212 2 .故选 B. 7 7 3 3 1 3 7 9 (2)由 0得 2 6 6 3 又 sin ， ( 6) 1 3 cos ( 6) 1sin2( 6) 1(1 3) 2 2 2 3 coscoscoscossinsin ( 3)( 6) 6( 6) 6( 6) 6 ，故选 A. 2 2 3 3 2 1 3 1
10、 2 2 61 6 (3)因为 sin sin ，cos cos ，两式平方相加得：22cos cos 1 2 1 2 2sin sin ， 1 2 即 22cos() ，所以 cos() ， 1 2 3 4 因为、是锐角，且 sin sin 0， 1 2 所以 0.所以0. 2 2 所以 sin().1cos2 7 4 所以 tan(). sin cos 7 3 考法 2 给角求值 【例 2】 (1)tan 20tan 40tan 20tan 40_.3 (2)sin 50(1tan 10)_.3 (1 1) (2 2)1 1 (1)由 tan(2040)得3 3 tan 20tan 40
11、1tan 20tan 40 3 tan 20tan 40(1tan 20tan 40)3 原式(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.333 (2)sin 50(1tan 10)3 sin 50(1 3sin 10 cos 10) sin 50cos 10 3sin 10 cos 10 sin 50 2(1 2cos 10 3 2 sin 10) cos 10 1. 2sin 50cos 50 cos 10 sin 100 cos 10 cos 10 cos 10 考法 3 给值求角 【例 3】 (1)若 sin 2，sin()，且， 5 5 10 10 4 ， ， 3 2 则
12、的值是( ) A. B. 7 4 9 4 C.或 D.或 5 4 7 4 5 4 9 4 (2)已知，(0， )， 且 tan() ， tan ， 则 2的值为 1 2 1 7 _ (1 1)A A (2 2) (1)，2. 3 3 4 4 ， 2 ，2 又 sin 20，2， 5 5 2 ， cos 2且. 2 5 5 4 ， 2 又，. ， 3 2 2 ，5 4 sin()0， 10 10 cos()且， 3 10 10 2 ， cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin() . 2 5 5( 3 10 10) 5 5 10 10 2 2 2， 2 ， 2 ，2 ，故选 A
13、. 7 4 (2)因为 tan tan() tantan 1tantan 0， 1 2 1 7 11 2 1 7 1 3 所以 0， 2 又因为 tan 2 0，所以 02， 2tan 1tan2 3 4 2 所以 tan(2)1. tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 因为 tan 0， 1 7 所以，20， 2 所以 2. 3 4 规律方法 三角函数求值的三种情况 1“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间 的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解. 2“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一
14、些角的三角函数值，解题 关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系. 3“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围， 最后确定角. (1)若 0，0，cos ，cos，则 2 2( 4 ) 1 3( 4 2) 3 3 cos( ) ( 2) A. B C. D 5 3 9 6 9 3 3 3 3 (2)_. 1cos210 cos 80 1cos 20 (3)(2019长春模拟)已知 sin ， sin()，均为锐角， 则角 5 5 10 10 值是_ (1 1)A A (2 2) (3 3) (1)由 0得，又 cos ， 2 2 2 2 4 2 4 4 3
15、 4( 4 ) 1 3 sin，由0 得. ( 4 ) 2 2 3 2 4 4 2 2 又 cos，sin. ( 4 2) 3 3( 4 2) 6 3 cos cos coscos sinsin ( 2)( 4 )( 4 2) 4 4 2( 4 ) . ( 4 2) 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 (2)原式. sin210 cos 80 2sin210 sin210 2sin 210 2 2 (3)，均为锐角，. 2 2 又 sin()，cos(). 10 10 3 10 10 又 sin ，cos ， 5 5 2 5 5 sin sin() sin cos()cos sin
16、() . 5 5 3 10 10 2 5 5( 10 10) 2 2 . 4 三角恒等变换的综合应用 【例 4】 (2019合肥模拟)已知函数f(x)sin2xsin2，xR R. (x 6) (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值 3 ， 4 解 (1)由已知得 f(x) 1cos 2x 2 1cos(2x 3) 2 cos 2x 1 2( 1 2cos 2x 3 2 sin 2x) 1 2 sin 2x cos 2x sin. 3 4 1 4 1 2(2x 6) 所以f(x)的最小正周期T. 2 2 (2)由(1)知f(x) sin. 1 2(2x 6)
17、x， 3 4 2x， 5 6 6 3 当 2x，即x时，f(x)有最小值， 6 2 6 且f ， ( 6) 1 2 当 2x，即x时，f(x)有最大值， 6 3 4 且f. ( 4) 3 4 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为 . 3 ， 4 3 4 1 2 规律方法 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用,解决此类问题可先根据和 角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数yAsinxt或余弦型函数y Acosxt的形式，再利用三角函数的图象与性质求解. (2019温州模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x.3 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若0，f() ，求
18、 sin 2的值 2 5 6 解 (1)函数f(x)sin xcos xcos2x3 sin 2x 3 2 1cos 2x 2 sin ， (2x 6) 1 2 函数f(x)的最小正周期为. 2 2 (2)若0， 2 则 2， 6( 5 6 ， 6) f()sin ， (2 6) 1 2 5 6 sin ， (2 6) 1 3 2， 6(0， 6) cos(2 6) ，1sin2(2 6) 2 2 3 sin 2sinsincos cossin (2 6 6)(2 6) 6(2 6) 6 1 3 3 2 2 2 3 . 1 2 32 2 6 1(2017全国卷)函数f(x) sinxcos的最
19、大值为( ) 1 5 3(x 6) A. B1 C. D. 6 5 3 5 1 5 A A 法一：f(x) sincos 1 5(x 3)(x 6) cos x sin x 1 5( 1 2sin x 3 2 cos x) 3 2 1 2 sin xcos xcos x sin x 1 10 3 10 3 2 1 2 sin xcos x sin， 3 5 3 3 5 6 5(x 3) 当x2k(kZ Z)时，f(x)取得最大值 . 6 6 5 故选 A. 法二：， (x 3) ( 6 x) 2 f(x) sincos 1 5(x 3)(x 6) sincos 1 5(x 3)( 6 x) s
20、insin 1 5(x 3)(x 3) sin . 6 5(x 3) 6 5 f(x)max ，故选 A. 6 5 2(2016全国卷)若 cos ，则 sin 2( ) ( 4 ) 3 5 A. B. 7 25 1 5 C D 1 5 7 25 D D 因为 cos ， ( 4 ) 3 5 所以 sin 2coscos 2 ( 2 2) ( 4 ) 2cos2121. ( 4 ) 9 25 7 25 3(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边 上有两点A(1，a)，B(2，b)，且 cos 2 ，则|ab|( ) 2 3 A. B. 1 5 5 5 C. D1
21、 2 5 5 B B 由题意知cos 0.因为cos 22cos21 ， 所以cos ， sin ， 2 3 5 6 1 6 得|tan |.由题意知|tan |，所以|ab|. 5 5 ab 12 5 5 4(2018全国卷)已知 tan ，则 tan _. 5 4 1 5 法一：因为 tan ， 3 2 5 4 1 5 所以 ，即 ， tan tan 5 4 1tan tan 5 4 1 5 tan 1 1tan 1 5 解得 tan . 3 2 法二：因为 tan ， 5 4 1 5 所以 tan tan 5 4 5 4 . tan5 4 tan 5 4 1tan5 4 tan 5 4 1 51 11 5 1 3 2 5(2017全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_ f(x)2cos xsin x，5 55( 2 5 5 cos x 5 5 sin x) 设 sin ，cos ， 2 5 5 5 5 则f(x)sin(x)，5 函数f(x)2cos xsin x的最大值为.5 自我感悟：_ _ _