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1、第七节 正弦定理、余弦定理应用举例第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 考纲传真 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视 线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯 角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间 的夹角叫做方位角 方位角的范围是 0360 方向角 相对于某正方向的水平角，如北偏东，即由正北方向 顺时针旋转到达目标方向，南偏西，即由正南方 向顺时针旋转到达目标方向，其他方向角类似 例：(1)北偏东 ： (2)南偏
2、西： 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)从A处望B处的仰角为， 从B处望A处的俯角为， 则，的关系为180. ( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. ( ) 0， 2 (3)方位角的大小范围是0,2)，方向角的大小范围一般是.( ) 0， 2) (4)若点P在点Q的北偏东 44，则点Q在点P的东偏北 46. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成 60视角， 从B望C和A成 75视角，则BC等于( ) A10 n mile B. n mile3
3、10 6 3 C5 n mile D5 n mile26 D D 如图，在ABC中， AB10，A60， B75，C45， ， BC sin 60 10 sin 45 BC5.6 3若点A在点C的北偏东 30，点B在点C的南偏东 60，且ACBC，则点A在点B 的( ) A北偏东 15 B北偏西 15 C北偏东 10 D北偏西 10 B B 如图所示，ACB90，又ACBC， CBA45，而30， 90453015， 点A在点B的北偏西 15. 4如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点在甲、乙两 点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙
4、两地连线 所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( ) A100 m B400 m2 C200 m D500 m3 D D 设塔高为x m，则由已知可得 BCx m，BDx m，3 由余弦定理可得 BD2BC2CD22BCCDcos BCD， 即 3x2x25002500x，解得x500(m) 5如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一 点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为( ) A50 m B25 m33 C25 m D50 m22 D D 因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，
5、 AC sin B AB sin C 即，解得AB50 m 50 sin 30 AB sin 45 2 测量距离问题 1如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 67，30，此 时气球的高是 46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个 位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 3 1.73) 6060 如图所示，过A作ADCB 且交CB的延长线于D. 在 RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m. 在ABC中，BAC673037， ABC18067113，AC92 m， 由正弦定
6、理，得 AC sin ABC BC sin BAC ，即， 92 sin 113 BC sin 37 92 sin 67 BC sin 37 解得BC60(m) 92sin 37 sin 67 2江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部 测得俯角分别为 45和 60， 而且两条船与炮台底部连线成 30角， 则两条船相距_m. 1010 如图，OMAOtan 4530(m)，3 3 ONAOtan 303010(m)， 3 3 3 在MON中，由余弦定理得， MN9003002 30 10 3 3 2 300 10(m)3 3如图，一艘船上午 9：30 在
7、A处测得灯塔S在它的北偏东 30的方向，之后它继续 沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东 75的方向， 且与它相距 8 n mile.此船的航速是_n mile/h.2 3232 在ABS中，BAS30，ASB753045， 由正弦定理得，则 AB sinASB BS sinBAS AB16，故此船的船速是32 n mile/h. 8 2sin 45 sin 30 16 0.5 4如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量 者可以在河岸边选定两点C，D， 测得CDa， 同时在C，D两点分别测得BCA， ACD， CDB，
8、BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中， 应用余弦定理计算出AB. 若测得CDkm，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间 3 2 的距离为_km. ADCADBCDB60，ACD60， 6 6 4 4 DAC60，ACDC(km) 3 2 在BCD中，DBC45，由正弦定理， 得BCsinBDCsin 30. DC sinDBC 3 2 sin 45 6 4 在ABC中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 2 . 3 4 3 8 3 2 6 4 2 2 3 8 AB(km) 6 4 A，B两点间的距离为 km. 6 4
9、 规律方法 求距离问题的两个策略 1选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接 求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 测量高度问题 【例 1】 (2019黄山模拟)如图所示， 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶， 到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在 西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m. 100 由题意， 在ABC中， BAC30， ABC18075105， 故ACB45.6 又AB600 m，故
10、由正弦定理得， 600 sin 45 BC sin 30 解得BC300 m.2 在 RtBCD中，CDBCtan 303002 3 3 100(m)6 规律方法 求解高度问题的 3 个注意点 1在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角它是在铅垂面上所成的角、方向 位角它是在水平面上所成的角是关键. 2在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 如图， 从某电视塔CO的正东方向的A处， 测得塔顶的仰角为 60， 在电视塔的南偏西 60 的B处测
11、得塔顶的仰角为 45，AB间的距离为 35 米，则这个电视塔的高度为_米 5 5 如图，可知CAO60，AOB150，2 21 1 OBC45，AB35 米 设OCx米，则OAx米，OBx米 3 3 在ABO中，由余弦定理， 得AB2OA2OB22OAOBcos AOB， 即 352x2x2cos 150， x2 3 2 3 3 整理得x5，21 所以此电视塔的高度是 5米21 测量角度问题 【例 2】 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即 测出该渔船在方位角为 45，距离A为 10 海里的C处，并测得渔船正沿方位角为 105的方 向，以 10 海里/时的速度向小
12、岛B靠拢，我海军舰艇立即以 10海里/时的速度前去营救，求3 舰艇的航向和靠近渔船所需的时间 解 如图所示，设所需时间为t小时， 则AB10t，CB10t，3 在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120， 可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.3 整理得 2t2t10，解得t1 或t (舍去)， 1 2 舰艇需 1 小时靠近渔船，此时AB10，BC10.3 在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 得， sinCAB BC sinCAB AB sin 120 BCsin 120 AB . 10 3 2 10 3 1 2 CAB30. 所以舰艇航
13、向为北偏东 75. 规律方法 解决测量角度问题的注意事项 1应明确方位角或方向角的含义. 2分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要 的一步. 3将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. 如图，位于A处的信息中心获悉 ： 在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘渔 船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30，相距 20 海里的C处的 乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求 cos 的值 解 在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC2 2ABACcos 1202 800BC20.7 由正弦定理，得sinACBsinBAC. AB sinACB BC sinBAC AB BC 21 7 由BAC120，知ACB为锐角，则 cosACB. 2 7 7 由ACB30，得 cos cos(ACB30) sinACB sin 30.cosACB cos 30 21 14