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1、第一节 数列的概念与简单表示法第一节 数列的概念与简单表示法 考纲传真 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解 数列是自变量为正整数的一类特殊函数 1数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 分类标准类型满足条件 有穷数列项数有限 项数 无穷数列项数无限 递增数列an1an 递减数列an1an 常数列an1an 其中nN N* 单调性 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法 4数列的通项公式 如果
2、数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 5数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一 项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公 式 6an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an， 则anError! 常用结论 1数列an是递增数列an1an恒成立 2数列an是递减数列an1an恒成立 基础自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达( ) (2)根据数列的
3、前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (3)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN N*，都有an1Sn1Sn.( ) (4)若已知数列an的递推公式为an1， 且a21， 则可以写出数列an的任何一 1 2an1 项( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)数列1， ， ，的一个通项公式为( ) 1 2 1 3 1 4 1 5 Aan Ban(1)n 1 n 1 n Can(1)n1 Dan 1 n 1 n B B 由a11，代入检验可知选 B. 3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 A A 当n8 时，a8S8S782
4、7215. 4把 3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个 正三角形(如图所示) 则第 6 个三角形数是( ) A27 B28 C29 D30 B B 由题图可知，第 6 个三角形数是 123456728. 5(教材改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5( ) 1n an1 A. B. C. D. 3 2 5 3 8 5 2 3 D D a212，a311 ，a41123，a511 . 1 a1 1 a2 1 2 1 2 1 a3 1 a4 1 3 2 3 由数列的前几项归纳数列的通项公式 1数列 0，的一个通项公式为( ) 2 3 4 5
5、6 7 Aan(nN N*) n1 n1 Ban(nN N*) n1 2n1 Can(nN N*) 2n1 2n1 Dan(nN N*) 2n 2n1 C C 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 2数列an的前 4 项是 ，1， ， ，则这个数列的一个通项公式是an_. 3 2 7 10 9 17 数列an的前 4 项可变形为， 故an 2n1 n21 2 11 121 2 21 221 2 31 321 2 41 421 . 2n1 n21 3写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，； (2) ， ， ，； 1 2 3 4 7 8 15 16 31 32 (
6、3)3,33,333,3 333，； (4)1,1，2,2，3,3. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以an2n1. (2)数列中各项的符号可通过(1)n1表示每一项绝对值的分子比分母少 1，而分母组 成数列 21,22,23,24， 所以an(1)n1. 2n1 2n (3)将数列各项改写为 ， ， 分母都是 3， 而分子分别是 101,1021,103 9 3 99 3 999 3 9 999 3 1,1041， 所以an (10n1) 1 3 (4)数列的奇数项为1，2，3，可用表示， n1 2 数列的偶数项为 1,2,3，可用 表示 n 2 因此anError! 规律方法 由前几
7、项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊 数列、联想联想常见的数列等方法. 2具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破， 或寻找分子、 分母之间的关系 ； 对于符号交替出现的情况， 可用1k或1k1，kN N* 处理. 由an与Sn的关系求通项公式 【例 1】 (1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an _. (2)若数列an的前n项和Snan ，则an的通项公式an_. 2 3 1 3 (1 1)Erro
8、r! (2)(2)n1 (1)当n1 时，a1S13122112； 当n2 时， anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1 时，不满足 上式 故数列的通项公式为anError! (2)由Snan ，得当n2 时，Sn1an1 ， 2 3 1 3 2 3 1 3 两式相减，得ananan1， 2 3 2 3 当n2 时，an2an1，即2. an an1 又n1 时，S1a1a1 ，a11， 2 3 1 3 an(2)n1. 规律方法 1.已知Sn求an的三个步骤 1先利用a1S1求出a1； 2用n1 替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1n2便可求出当
9、n2 时an的表达式； 3注意检验n1 时的表达式是否可以与n2 的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求， 将问题向不同的两个方向转化. 1利用anSnSn1n2转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解； 2利用SnSn1ann2转化为只含an，an1的关系式，再求解. (1)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_. (2)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_. (1 1)Error! (2)2n1 (1)当n1 时，a1S1314， 当n2 时，anSnSn13n13n1123n1. 显然当n1 时，不满足上
10、式 anError! (2)依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an1 2an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11 为首项、2 为公比的等比 数列，an2n1. 由数列的递推关系求通项公式 考法 1 形如an1anf(n)，求an 【例 2】 在数列an中，a12，an1an3n2(nN N*)，求数列an的通项公式 解 (1)an1an3n2， anan13n1(n2)， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2) n3n1 2 当n1 时，a1 (311)2 符合公式， 1 2 ann2 . 3 2 n 2 考
11、法 2 形如an1anf(n)，求an 【例 3】 已知数列an满足a11，an12nan，求数列an的通项公式 解 an12nan，2n，2n1(n2)， an1 an an an1 ana1 an an1 an1 an2 a2 a1 2n12n2212123(n1) 2. nn1 2 又a11 适合上式，故an2. nn1 2 考法 3 形如an1AanB(A0 且A1)，求an. 【例 4】 已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式 解 an13an2， an113(an1)， 又a11，a112， 故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an123n1，
12、因此an23n11. 规律方法 由递推关系式求通项公式的常用方法,1已知a1且anan1fn， 可用 “累加法” 求an， 即ananan1an1an2a3a2a2a1a1. 2已知a1且，可用“累乘法”求an，即an 2) . 3已知a1且an1qanb， 则an1kqank其中k可由待定系数法确定， 可转化为等比数列ank. 4形如A，B，C为常数的数列，可通过两边同时取倒数的方法构 造新数列求解. 根据下列条件，求数列an的通项公式 (1)a11，an1an2n； (2)a1 ，anan1(n2)； 1 2 n1 n1 (3)a11，an12an3； (4)a11，an1. 2an an
13、2 解 (1)由题意知an1an2n， an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 2n12n2212n1. 12n 12 (2)因为anan1(n2)， n1 n1 所以当n2 时， an an1 n1 n1 所以， ， ， an an1 n1 n1 an1 an2 n2 n a3 a2 2 4 a2 a1 1 3 以上n1 个式子相乘得 ， an an1 an1 an2 a3 a2 a2 a1 n1 n1 n2 n 2 4 1 3 即 21，所以an. an a1 1 n1 1 n 1 nn1 当n1 时，a1 ，与已知a1 相符， 1 1 2 1 2 1 2 所以数列an的通项公
14、式为an. 1 nn1 (3)由an12an3 得an132(an3) 又a11，a134. 故数列an3是首项为 4，公比为 2 的等比数列， an342n12n1，an2n13. (4)因为an1，a11，所以an0， 2an an2 所以 ，即 . 1 an1 1 an 1 2 1 an1 1 an 1 2 又a11，则1，所以是以 1 为首项， 为公差的等差数列 1 a1 1 an 1 2 所以(n1) .所以an(nN N*). 1 an 1 a1 1 2 n 2 1 2 2 n1 1(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_. 1 1an an1， 1 1 2 2 1
15、1an an1 1 1an 1 1 1 1an1 1an1 1an11 1 1an1 an1 1 an1 11(1an2)an2， 1 1 1an2 周期T(n1)(n2)3. a8a322a22. 而a2，a1 . 1 1a1 1 2 2(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn _. an1Sn1Sn，an1SnSn1， 1 n Sn1SnSnSn1. Sn0，1，即1. 1 Sn 1 Sn1 1 Sn1 1 Sn 又1，是首项为1，公差为1 的等差数列 1 S1 1 Sn 1(n1)(1)n，Sn . 1 Sn 1 n 3 (2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an1 2n 0. (1)求a2，a3； (2)求an的通项公式 解 (1)由题意可得a2 ，a3 . 1 2 1 4 (2)由a(2an11)an2an10 得 2n 2an1(an1)an(an1) 因为an的各项都为正数，所以 . an1 an 1 2 故an是首项为 1，公比为 的等比数列，因此an. 1 2 1 2n1 自我感悟：_ _ _