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1、第一节 不等式的性质与一元二次不等式第一节 不等式的性质与一元二次不等式 考纲传真 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的 实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二 次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法Error! (2)作商法Error! 2不等式的性质 (1)对称性：abbb，bcac；(单向性) (3)可加性：abacbc；(双向性) (4)加法法则：ab，cdacbd；(单向性) (5)可乘性
2、：ab，c0acbc；(单向性) ab，cb0，cd0acbd；(单向性) (7)乘方法则：ab0anbn(n2，nN N)；(单向性) (8)开方法则：ab0(n2，nN N)；(单向性) n a n b 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式b24ac000)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实根x1， x2(x10 ax2bxc0) 的解集 x|xx2x|xx1 R R (a0)的解集x|x1bac2bc2.( ) (2)ab0，cd0 .( ) a d b c (3)若不等式ax2bxc0.( ) (4)若方程ax2bxc0(a0)没有实
3、数根，则不等式ax2bxc0 的解集为 R R. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ab，cbd； ab0，cbd； ab0； 3 a 3 b ab0. 1 a2 1 b2 A B C D D D 利用不等式的同向可加性可知正确 ； 对于，根据不等式的性质可知acb0 可知a2b20，所以y0，则( ) A. 0 Bsin xsin y0 1 x 1 y C. 0 ( 1 2) x ( 1 2) y C C 函数y在(0， )上为减函数， 当xy0 时，y0 y0 时， 不能比较 sin x与 sin y的大小， 故 B 错误 ；xy0x
4、y0 ln(xy)0/ ln xln y0，故 D 错误 3若a20.6，blog3，clog2，则( ) (sin 2 5) Aabc Bbac Ccab Dbca A A 因为a20.6201，又 log1log3log，所以 0b1，clog2sin 2 5 log210，于是abc.故选 A. 4 已知角，满足， 0， 则 3的范围是_ 2 2 (，2) 设 3m()n()，则 Error!解得Error! 从而 32()()， 又2()，0， 2()()2. 规律方法 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法 1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性
5、质逐个 验证；二是利用特殊值法排除错误答案. 2比较大小常用的方法 作差商法：作差商变形判断， 构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,中间量法：利用中间量法比较两式大小， 一般选取 0 或 1 作为中间量. 3由a0 的解集为_(用区间表示) (1 1)Error! (2)(4,1) (1)方程2x2x30的两根为x11，x2 ， 则不等式2x2 3 2 x30 的解集为Error!. (2)由x23x40 得x23x40 的解集 为(4,1) 考法 2 含参数的一元二次不等式 【例 2】 (1)解关于x的不等式：x2(a1)xa0. 解 原不等式可化为(xa)(x1)0， 当a1 时，原不
6、等式的解集为(1，a)； 当a1 时，原不等式的解集为； 当a1 时，原不等式的解集为(a,1) (2)解关于x的不等式：ax2(a1)x10. 解 若a0，原不等式等价于x10， 解得x1. 若a0，原不等式等价于(x1)0， (x 1 a) 解得x 或x1. 1 a 若a0，原不等式等价于(x1)0. (x 1 a) 当a1 时， 1，(x1)0 无解； 1 a(x 1 a) 当a1 时， 1，解(x1)0，得 x1； 1 a(x 1 a) 1 a 当 0a1 时， 1，解(x1)0，得 1x . 1 a(x 1 a) 1 a 综上所述，当a0 时，解集为Error!； 当a0 时，解集为
7、x|x1； 当 0a1 时，解集为Error!； 当a1 时，解集为； 当a1 时，解集为Error!. 规律方法 1.解一元二次不等式的步骤： 1使一端为 0 且把二次项系数化为正数； 2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； 3写出不等式的解集. 2.解含参数的一元二次不等式的步骤： 1二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为 一次不等式或二次项系数为正的形式； 2判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系； 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定解集形式. (1)已知不等式ax2bx10 的
8、解集是Error!， 则不等式x2bxa0 的解集 是( ) Ax|20 的解集是Error!， ax2bx10 的解是x1 和x2 ，且a0， 1 2 1 3 Error!解得Error! 则不等式x2bxa0 即为x25x60，解得x2 或x3. (2)解不等式x2ax10(aR R) 解 a24. 当a240，即2a2 时，原不等式无解 当a240， 即a2或a2时， 方程x2ax10的两根为x1，x2 aa24 2 ， aa24 2 则原不等式的解集为 Error!. 综上所述，当2a2 时，原不等式无解 当a2 或a2 时，原不等式的解集为xError!xa +a2+ 4 2 一元二
9、次不等式恒成立问题 【例 3】 已知函数f(x)mx2mx1. (1)若对于xR R，f(x)0 恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围 解 (1)当m0 时，f(x)10 恒成立 当m0 时，则Error!即4m0. 综上，4m0，故m的取值范围是(4,0 (2)不等式f(x)5m，即(x2x1)m6， x2x10，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值， 6 x2x1 6 x2x1 记g(x)，x1,3， 6 x2x1 记h(x)x2x1 2 ， (x 1 2) 3 4 h(x)在x1,3上为增函数，则g(x)在1,3上为减函数， g(x)
10、ming(3) ，m . 6 7 6 7 所以m的取值范围是. (， 6 7) 规律方法 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax2bxc0a0恒成 立的条件是 2ax2bxc0a0恒成立的条件是 (1)若不等式 2kx2kx 0 对一切实数x都成立，则k的取值范围为 3 8 ( ) A(3,0) B3,0) C3,0 D(3,0 (2)若不等式x2mx10 对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是 _ (1 1) D D (2 2) (1)当k0 时，显然成立； ( 2 2 2 2 ，0 0) 当k0 时，即一元二次不等式 2kx2kx 0 对一切实数x都成立 3 8 则Error!
11、 解得3k0. 综上，满足不等式 2kx2kx 0 对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0 3 8 (2)由题意得， 函数f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于 0， 又抛物线f(x)x2 mx1 开口向上，所以只需 Error! 即Error!解得m0. 2 2 一元二次不等式的应用 【例 4】 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)， 每小 时可获得的利润是 100元 (5x1 3 x) (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求x的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求
12、最 大利润 解 (1)根据题意， 得 2003 000， (5x1 3 x) 整理得 5x14 0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10. 3 x 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x的取值范围是3,10 (2)设利润为y元，则 y100 900 x(5x1 3 x) 9104(51 x 3 x2) 9104， 3( 1 x 1 6) 261 12 故当x6 时，ymax457 500 元 即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大， 最大利润为457 500 元 规律方法 求解不等式应用题的四个步骤： 1阅读理解，认真审题，把
13、握问题中的关键量，找准不等关系； 2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的 数学模型； 3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； 4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停 住，我们称这段距离为“刹车距离” 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车， 但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m， 又知甲、 乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系 ：s甲0.1x0.01x2， s乙0.05x0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？ 解 由题意知，对于甲车， 有 0.1x0.01x212， 即x210x1 2000， 解得x30 或x40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过 30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过 12 m， 由此估计甲车车速不会超过限速 40 km/h. 对于乙车，有 0.05x0.005x210， 即x210x2 0000， 解得x40 或x50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速 自我感悟：_ _ _