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1、课后限时集训(三十) 课后限时集训(三十) (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1(2019成都模拟)在等比数列an中，已知a36，a3a5a778，则a5( ) A12 B18 C36 D24 B B 由题意知，a5a772，即 6q26q472， 解得q23，所以a5a3q26318，故选 B. 2已知an，bn都是等比数列，那么( ) Aanbn，anbn都一定是等比数列 Banbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列 Canbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列 Danbn，anbn都不一定是等比数列 C C 两个等比数列的和不一定是等比数列，但两
2、个等比数列的积一定是等比数列，故选 C 3(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若a2，a3，a6成等比数列， 则an前 6 项的和为( ) A24B3 C3D8 A A 由已知条件可得a11，d0， 由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2. 2 3 所以S66124. 6 5 2 2 故选 A 4(2019洛阳模拟)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20 的根，则的 a2a16 a9 值为( ) AB 2 2 2 2 CD或222 B B an为等比数列，a2a16a3a15a， 2 9 由题意得Error!a2， 2 9 由上式可知，a30，
3、a150；则a90， a9. a2a16 a9 2 5(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 ： “远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是 ： 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( ) A1 盏B3 盏 C5 盏D9 盏 B B 设塔的顶层的灯数为a1， 七层塔的总灯数为S7， 公比为q， 则由题意知S7381，q2， S7381，解得a13. a11q7 1q a1127 12 故选 B. 二、填空题 6 (2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4
4、b48， 则 a2 b2 _. 1 1 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q， 则由a4a13d，得d3， a4a1 3 81 3 由b4b1q3得q38，q2. b4 b1 8 1 1. a2 b2 a1d b1q 13 1 2 7已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和Sn _. 2 2n1 设等比数列的公比为q， 则有Error! 解得Error!或Error! 又an为递增数列，所以Error! 所以Sn2n1. 12n 12 8(2019惠州模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S12S23S3，则an的公 比等于_ 由S12S23S
5、3得a12(a1a2)3(a1a2a3)， 1 1 3 3 所以 3a3a2，即 . a3 a2 1 3 三、解答题 9 (2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列， 数列bn满足b11，b2 ，anbn1 1 3 bn1nbn. (1)求an的通项公式； (2)求bn的前n项和 解 (1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2 ，得a12. 1 3 所以数列an)是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1. (2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1， bn 3 因此bn是首项为 1，公比为 的等比数列 1 3 记bn的前n项和为Sn， 则Sn . 1(1 3) n
6、 11 3 3 2 1 2 3n1 10(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36. (1)求an的通项公式； (2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 解 (1)设an的公比为q.由题设可得 Error! 解得q2，a12. 故an的通项公式为an(2)n. (2)由(1)可得 Sn (1)n. a11qn 1q 2 3 2n1 3 由于Sn2Sn1 (1)n 4 3 2n32n2 3 22Sn， 2 31 n2 n1 3 故Sn1，Sn，Sn2成等差数列 B B 组 能力提升 1设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则( ) S6 S3 S9 S6 A
7、2B7 3 CD3 8 3 B B 法一 ： 由等比数列的性质及题意， 得S3，S6S3，S9S6仍成等比数列， 由已知得S6 3S3，即S9S64S3，S97S3， . S6S3 S3 S9S6 S6S3 S9 S6 7 3 法二：11q33，所以q32. S6 S3 a4a5a6 a1a2a3 则 . S9 S6 1q9 1q6 123 122 7 3 2在递增的等比数列an中，已知a1an34，a3an264，且前n项和Sn42，则n 等于( ) A3B4 C5D6 A A 因为an为等比数列， 所以a3an2a1an64. 又a1an34. 所以a1，an是方程x234x640 的两根
8、， 解得Error!或Error! 又因为an是递增数列，所以Error! 由Sn42， a1anq 1q 232q 1q 解得q4. 由ana1qn124n132， 解得n3.故选 A 3在数列an中，若a11，anan1(nN N*)，则a1a2a3a2n_. 1 2n 由anan1得a1a2 ，a3a4 ，a5a6，a2n1a2n， 2 3(1 1 4n) 1 2n 1 2 1 8 1 32 1 22n1 所以a1a2a2n . 1 2 1 8 1 32 1 22n1 1 2(1 1 4n) 11 4 2 3(1 1 4n) 4 已知数列an的前n项和为Sn， 数列bn中，b1a1，bn
9、anan1(n2)， 且anSnn. (1)设cnan1，求证：cn是等比数列； (2)求数列bn的通项公式 解 (1)证明：anSnn， an1Sn1n1， 得an1anan11，即 2an1an1， 2(an11)an1，即 2cn1cn. 由a1S11 得a1 ，c1a11 ， 1 2 1 2 从而cn0， . cn1 cn 1 2 数列cn是以 为首项， 为公比的等比数列 1 2 1 2 (2)由(1)知cn n1n， 1 2( 1 2)( 1 2) 又cnan1，ancn11 n， ( 1 2) 当n2 时， bnanan11 n n. ( 1 2)1( 1 2) n1 ( 1 2) 又b1a1 ，适合上式，故bn n. 1 2( 1 2)