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1、课后限时集训(三十七)课后限时集训(三十七) (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1(2019长春模拟)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说 法正确的是( ) A若mn，n，则m B若m，则m C若m，n，n，则m D若mn，n，则m C C A中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误； B中，由m，可得m或m与相交或m，错误； C 中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确； D 中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误 2在下列四个正方体中，能得出ABCD的是( ) A A A 选项中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B选项中，AB与CD成 60角
2、； C 选 项中，AB与CD成 45角；D 选项中，AB与CD夹角的正切值为.2 3已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一 定能推出m的是( ) A且m B且m Cmn且n Dmn且n C C 对A，设a，m，当ma时，才有m，故A错误；对B，当， 且m时， 可能有m与平行， 故B错误 ； 对 C， 由线面垂直的判定可知正确 ； 对 D， 当mn 且n时，可能有m，故 D 错误 4(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC C C 如图A1E在平面ABCD上的投影为A
3、E，而AE不与AC，BD垂直，B，D 错； A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1， A1EBC1，故 C 正确； (证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC， BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1) A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错 5如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB 沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确 的是( ) A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDC C平面ABC平面BDC
4、D平面ADC平面ABC D D 在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90， BDCD. 又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD， 故CD平面ABD，则CDAB. 又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC. 又AB平面ABC， 平面ADC平面ABC. 二、填空题 6如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一 动点， 当点M满足_时， 平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) DMPC(或BMPC等) 四棱锥底面各边相等，四边形ABCD为菱形，ACABD， 又PA底面ABC
5、D，BDPA，BD平面PAC，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD. 又PC平面PCD，平面MBD平面PCD. 7 如图所示， 在三棱柱ABCA1B1C1中， 各棱长都相等， 侧棱垂直于底面， 点D是侧面BB1C1C 的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_ 取BC的中点E，连接AE，DE，则AE平面BB1C1C. 3 所以ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角 设三棱柱的所有棱长为a， 在 RtAED中， AEa，DE . 3 2 a 2 所以 tanADE，则ADE. AE DE 3 3 故AD与平面BB1C1C所成的角为. 3 8(2016全国卷)，是两个
6、平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn. 如果，m，那么m. 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 对于，可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误 对于， 由线面平行的性质定理知存在直线l，nl， 又m， 所以ml， 所以mn， 故正确 对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由 线面平行的定义可知m，故正确 对于， 因为mn， 所以m与所成的角和n与所成的角相等 因为， 所以n 与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故 正确 三、解答题 9 (201
7、8北京高考)如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形， 平面PAD平面ABCD， PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点 (1)求证：PEBC； (2)求证：平面PAB平面PCD； (3)求证：EF平面PCD. 证明 (1)因为PAPD，E为AD的中点， 所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形， 所以BCAD. 所以PEBC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以ABAD. 又因为平面PAD平面ABCD， 所以AB平面PAD. 所以ABPD. 又因为PAPD， 所以PD平面PAB. 因为PD平面PCD， 所以平面PAB平面PCD. (3)取PC中点G，连接FG，DG. 因为
8、F，G分别为PB，PC的中点， 所以FGBC，FGBC. 1 2 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DEBC，DEBC. 1 2 所以DEFG，DEFG. 所以四边形DEFG为平行四边形， 所以EFDG. 又因为EF平面PCD，DG平面PCD， 所以EF平面PCD. 10如图 1 所示，在 RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图 2 所示 图 1 图 2 (1)求证：A1FBE； (2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？并说明理由 解 (1)证明：由已知，得ACBC，且DE
9、BC. 所以DEAC，则DEDC，DEDA1， 因为DCDA1D， 所以DE平面A1DC. 由于A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDED， 所以A1F平面BCDE， 又BE平面BCDE， 所以A1FBE. (2)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ. 理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ， 则PQBC. 又因为DEBC，则DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE平面A1DC， 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1CDP. 又DPDED， 所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ
10、. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ. B B 组 能力提升 1 如图， 在斜三棱柱ABCA1B1C1中， BAC90，BC1AC， 则C1在底面ABC上的射影H 必在( ) A直线AB上 B，直线BC上 C直线AC上 DABC内部 A A 连接AC1(图略)，由ACAB，ACBC1，ABBC1B，得AC平面ABC1. AC平面ABC，平面ABC1平面ABC. C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上 2如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD2 折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是( ) AACBD B
11、BAC90 CCA与平面ABD所成的角为 30 D四面体ABCD的体积为1 3 B B 若A成立可得BDAD，产生矛盾，故A不正确； 由题设知：BAD为等腰直角三角形，CD平面ABD，得BA平面ACD，于是B 正确； 由CA与平面ABD所成的角为CAD45知 C 不正确； VABCDVCABD ，D 不正确故选 B. 1 6 3如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A 在PB，PC上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC； AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_ 由BCAC，BCPA可得BC平面PAC， 又AF平面PAC，所以AFBC， 又
12、AFPC，则AF平面PBC，从而AFPB，AFBC，故正确； 由PBAF，PBAE可得PB平面AEF，从而PBEF，故正确； 若AE平面PBC，则由AF平面PBC知AEAF与已知矛盾，故错误 4如图，高为 1 的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M为AB的三等分点现将AMD 1 3 沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB，AC. (1)在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC? (2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离 解 (1)当APAB时，有AD平面MPC.理由如下： 1 3 连接BD交MC于点N， 连接NP. 在梯形MBCD中，DCMB， ， DN NB DC MB 1 2 因为ADB中， ，所以ADPN. AP PB 1 2 因为AD平面MPC，PN平面MPC， 所以AD平面MPC. (2)因为平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM， 平面AMD中AMDM，所以AM平面MBCD. 所以VPMBC SMBC 21 . 1 3 AM 2 1 3 1 2 1 2 1 6 在MPC中，MPAB，MC， 1 2 5 2 2 又PC，所以SMPC . 5 2 1 2 2 6 4 所以点B到平面MPC的距离为 d. 3VPMBC S MPC 3 1 6 6 4 6 3