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1、 第 23 讲 解三角形应用举例 第 23 讲 解三角形应用举例 课时达标课时达标 一、选择题 1一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 分 钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B处 观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( ) A10 海里 B10 海里23 C20 海里 D20 海里32 A A 解析 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根 据正弦定理得，解得BC10海里故选 A BC sin 30 AB sin 45 2 2一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱
2、，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度， 某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( ) A50 m B100 m C120 m D150 m A A 解析 设水柱高度是h m， 水柱底端为C， 则在ABC中， A60，ACh，AB 100，BCh， 根据余弦定理得(h)2h210022h100cos 60， 即h250h5 0000，33 即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是 50 m. 3长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处 1.4 m 的地
3、面上， 另 一端B在离堤足C处的 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan ( ) A B 231 5 5 16 C D 231 16 11 5 A A 解析 由题意得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m， 且ACB. 由 余 弦 定 理 得AB2AC2BC2 2ACBCcosACB， 即 3.52 1.42 2.82 21.42.8cos()，解得 cos ，所以 sin ，所以 tan 5 16 231 16 sin cos . 231 5 4(2019兰州一中期中)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别 为 75，30，此时气球的高是
4、60 m，则河流的宽度BC( ) A240(1) m B180(1) m32 C120(1) m D30(1) m33 C C 解析 因为 tan 15tan(6045)2， 所以BC tan 60tan 45 1tan 60tan 45 3 60tan 6060tan 15120(1)(m)故选 C3 5要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点， 在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线 及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( ) A100 m B400 m2 C200 m D
5、500 m3 D D 解析 由题意画出示意图， 设塔高ABh m， 在 RtABC中， 由已知得BCh m， 在 Rt ABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，3 得 3h2h25002h500，解得h500 m. 62017 年 9 月 16 日 05 时，第 19 号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时 30 千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若 16 日 08 时到 17 日 08 时， 距甲地正西方向 900 千米的乙地恰好受台风影响， 则t和的值分 别为(附：8.585)( )73.71 A
6、858.5,60 B858.5,30 C717,60 D717,30 A A 解析 如图，根据题意，3 小时后台风中心距甲地 90 千米，27 小时后台风中心距甲 地 810 千米， 乙地有 24 小时在台风范围内， 根据余弦定理得t29002902290900cos ，t2900281022810900cos ，解得cos ，所以60，所以t29002902 1 2 290900cos 60737 100，所以t858.5.故选 A 二、填空题 7一艘船上午 9：30 在A处测得灯塔S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向 匀速航行， 上午 10： 00 到达B处， 此时又测得灯塔S在它
7、的北偏东 75处， 且与它相距 8 2 n mile，此船的航速是_n mile/h. 解析 设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45.由正 1 2 2 弦定理得，所以v32 n mile/h. 8 2 sin 30 1 2v sin 45 答案 32 8江岸边有一炮台OA高 30 m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上， 由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船 相距_m. 解析 OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余 3 3 3 弦定理得MN10
8、(m)9003002 30 10 3 3 2 3003 答案 10 3 9 (2019西安一中期中)如图， 在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔AA1和 BB1. 已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的 2 倍， 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的 仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m. 解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2. 因 为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， 所以A1ACCBB1， 所以 AA1 30 ，所以AA1B
9、B1900，所以 3 600tan tan 2900，所以 tan (负值舍去)，所 30 BB1 1 3 以 tan 2 ，BB160tan 245. 3 4 答案 45 1 3 三、解答题 10 如图， 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内， 已知飞机的高度为海拔 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后又看山顶的俯角 为 45，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)23 解析 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所 以ACB30，AB5042021 000(m) 又在ABC中，所以BCsin
10、 1510 500( BC sin A AB sinACB 21 000 1 2 62 )(m)因为CDAD，所以CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 62 2 2 3 350(m)故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m) 11 (2019邢台一模)如图， 在海岛A上有一座海拔 1 千米的山， 山顶设有一个观察站P， 上午 11 时，测得一轮船在岛北偏东 30，俯角为 30的B处，到 11 时 10 分又测得该船在 岛北偏西 60，俯角为 60的C处 (1)求船的航行速度是每小时多少千米？ (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A多
11、远？ 解析 (1)在 RtPAB中， APB60，PA1， 所以AB.在 RtPAC中， APC3 30， 所 以AC.在 ACB中 ， CAB 30 60 90.所 以BC 3 3 AC2AB2 ，则船的航行速度为 2(千米/时) ( 3 3) 2 32 30 3 30 3 1 6 30 (2)在ACD中， DAC906030， sinDCAsin(180ACB)sinACB ，sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin AB BC 3 30 3 3 10 10 30 .由正弦定理得.所 3 10 10 3 2 1 2 1( 3 10 10) 2 3 31 1
12、0 20 AD sinDCA AC sinCDA 以AD.故此时船距海岛A有千米 ACsinDCA sinCDA 3 3 3 10 10 3 31 10 20 9 3 13 9 3 13 12如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 100 km 的速度向东匀速 行驶， 汽车开动时， 在A市南偏东方向距A市 500 km 且与海岸距离为 300 km 的海上B处有 一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给汽车的司机 (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？ (2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角 解析 (1)如图， 设快艇以v km/h 的
13、速度从B处出发， 沿BC方向，t h 后与汽车在C处相 遇，在ABC中，AB500，AC100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC， 则sin ， cos .由余弦定理得BC2AC2AB22ABACcos ， 所以v2t2 3 5 4 5 (100t)250022500100t .整理，得v210 000250 000 4 5 250 000 t2 80 000 t 10 000250 000 23 600.当 ， 即t时， 1 t2 8 25 1 t( 4 25) 2 10 000 16 25( 1 t 4 25) 1 t 4 25 25 4 v3 600，vmin60 k
14、m/h，即快艇至少以 60 km/h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中 2min (2)当v60 km/h 时，在ABC中，AB500，AC100625，BC60375， 25 4 25 4 易得 cosABC0，所以ABC90，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏 AB2BC2AC2 2ABBC 东方向行驶 13选做题(2019武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45方 向 600 km A处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内 的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( ) A14 h B15 h C16 h D17 h B B 解析 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达点B位置， 在 OAB中，OA600，AB20t， OAB45， 根据余弦定理得OB26002400t2220t600 ，令OB24502，即 4t2120t1 5750，解得t，所以该码头 2 2 2 30 215 2 30 215 2 将受到热带风暴影响的时间为15(h) 30 215 2 30 215 2