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1、第 16 讲 导数的综合应用第 16 讲 导数的综合应用 课时达标 课时达标 1已知函数f(x)x3x，m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，所以f(x)在 R R 上为增函数 又f(x)f(x)， 故f(x)为奇函数， 由f(mx2)f(x)0)可知g(x)在(0,1) 11 6 1 x x31 x x13 x 上是减函数， 在(1， )上是增函数， 所以g(x)ming(1) 30， 所以当x0 时， 1 3 3 2 11 6 g(x)g(1)0，于是f(x)4x，得证 x3 3 5x2 2 11 6 3已知函数f(x)xln x. (1)求f(x)的最小值； (2)若对所有x1 都有
2、f(x)ax1，求实数a的取值范围 解析 (1)f(x)的定义域为(0， )，f(x)的导数f(x)1ln x， 令f(x)0， 解得x ，令f(x)1时， 因为g(x) 1 x 1 x 1 x2 1 x(1 1 x) 1 x 0，故g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)1，从而a的取值 (1 1 x) 范围是(，1 4已知函数f(x)x2ln xa(x21)，aR R. (1)当a1 时，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若当x1 时，f(x)0 恒成立，求a的取值范围 解析 (1)当a1 时，f(x)x2ln xx21，f(x)2xln x3x. 则
3、曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)3. 又f(1)0，所以切线方程为 3xy30. (2)f(x)2xln x(12a)xx(2ln x12a)，其中x1. 当a 时，因为x1，所以f(x)0. 1 2 所以函数f(x)在1，)上单调递增故f(x)f(1)0. 当a 时，令f(x)0，得xea. 1 2 1 2 若x1， ea)， 则f(x)0) 2ax21 x 当a0 时，由ax210 得x；由ax210 时，F(x)在区间 1 a 1 a 上单调递增，在区间上单调递减； ( 1 a，)(0， 1 a) 当a0 时，F(x)0)恒成立故当a0 时，F(x)在(0，)上单调
4、递减 (2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解 2ln x x2 2 由(x)易知(x)在(，)上为增函数， 在(， e)上为减函数， 2x12ln x x4 2ee 则(x)max() ，e 1 e 而(e)()，所以(x)min(e)， 2 e2 2ln 2 4 ln 2 2 2 如图，可知(x)a有两个不等解时需a ，即f(x)g(x)在，e上有两个 ln 2 2 1 e 2 不等解时，a的取值范围为. ln 2 2 ，1 e) 6某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为 30 元，且每卖出一件产品，需向税务 部门上交a元(a为常数，2a5)的税收，设每件产品的日售价为x元(
5、35x41)，根据 市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为 40 元时， 日销售量为 10 件 (1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由 解析 (1)设日销售量为件，则10，所以k10e40.则日销售量为件，每件利 k ex k e40 10e40 ex 润为(x30a)元，则日利润L(x)10e40(35x41) x30a ex (2)L(x)10e40(35x41) 31ax ex 当 2a4 时，3331a35，L(x)0，L(x)在35,41上是减函数 所以当x35 时，L(x)的最大值为 10(5a)e5. 当 4a5 时，3531a36，由L(x)0，得xa31，当x(35，a31)时， L(x)0，L(x)在(35，a31)上是增函数当x(a31,41时，L(x)0，L(x)在(a 31,41上是 减函数所以当xa31 时，L(x)的最大值为 10e9a. 综上可知，当 2a4 时，日售价为 35 元可使日利润L(x)最大，当 4a5 时，日售 价为(a31)元可使日利润L(x)最大