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1、第 48 讲 圆的方程第 48 讲 圆的方程 课时达标 课时达标 一、选择题 1 (2019宁波中学月考)在平面直角坐标系内， 若曲线C：x2y22ax4ay5a24 0 上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为( ) A(，2) B(，1) C(1，) D(2，) A A 解析 圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2， 故由题意知Error!a0，b0)的离心率e， 右焦点F(c,0)， 方程ax2bxc0 x2 a2 y2 b2 2 的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2y28 的位置关系为( ) A点P在圆外 B点P在圆上 C
2、点P在圆内 D不确定 C C 解析 因为e21 22， 所以 21， 所以 1，所以ab，ca，所以方程ax2 ( b a)( b a) b a 2 bxc0 可化为x2x0.所以x1x21，x1x2.所以xx(x1x2)222 2 12 2 2x1x2128，所以点P在圆内故选 C.2 二、填空题 7(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为 _ 解析 设圆的方程为x2y2DxEyF0.将已知三点的坐标代入方程可得Error!解得 Error!所以圆的方程为x2y22x0. 答案 x2y22x0 8若圆C与圆x2y22x0 关于直线xy10
3、对称，则圆C的方程是_ 解析 设C(a，b)， 因为已知圆的圆心为A(1,0)， 由点A，C关于xy10对称得 Error!解得Error!又圆的半径是 1， 所以圆C： (x1)2(y2)21， 即x2y22x4y40. 答案 x2y22x4y40 9若过点P(a，a)可作圆x2y22axa22a30 的两条切线，则实数a的取值范 围是_ 解析 圆的方程可化为(xa)2y232a.因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以 点P在圆的外部，即Error!解得a3 或 1a .故a的取值范围为(，3). 3 2(1， 3 2) 答案 (，3)(1，3 2) 三、解答题 10已知ABC的顶点坐标
4、分别为A(1,5)，B(2，1)，C(4,3)，M是BC的中点 (1)求AB边所在直线的方程； (2)求以线段AM为直径的圆的方程 解析 (1)因为A(1,5)，B(2，1)，所以由两点式得AB的方程为 y5 15 ，整理得 6xy110. x1 21 (2)因 为M是BC的 中 点 ， 所 以M， 即M(1,1)， 所 以 |AM| ( 24 2 ，13 2) 2，所以圆的半径为.所以AM的中点为，即11251255 ( 11 2 ，51 2) 中点为(0,3)，所以以线段AM为直径的圆的方程为x2(y3)25. 11已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求： (1)
5、直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程 解析 (1)设C(x，y)， 因为A，B，C三点不共线， 所以y0.因为ACBC， 所以kACkBC 1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此直角顶 y x1 y x3 y x1 y x3 点C的轨迹方程为x2y22x30(y0) (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x ，y， 所以x02x3，y02y.由(1)知点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， x03 2 y00 2 将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因
6、此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 12已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450 上任意一点 (1)求m2n的最大值； (2)求的最大值和最小值 n3 m2 解析 将圆C化为标准方程可得(x2)2(y7)28，所以圆心C(2，7)，半径r2.2 (1)设m2nb， 则b可看作是直线nm 在y轴上截距的2倍， 故当直线m2nb 1 2 b 2 与圆C相切时，b有最大或最小值 所以2， 所以b162(b162 |22 7b| 1222 210 舍去)，所以m2n的最大值为 162.1010 (2)设k， 则k可看作点(m，n)与点(2,3)所在直线的斜率， 所以当直线n3k(m
7、n3 m2 2)与圆C相切时，k有最大或最小值， 所以2， 解得k2或k2 |2k72k3| 1k2 23 .所以的最大值为 2，最小值为 2.3 n3 m2 33 13选做题(2019郴州二中质检)已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴 分成两段弧，弧长之比为 21，则圆的方程为( ) Ax2 2 Bx2 2 (y 3 3) 4 3(y 3 3) 1 3 C. 2y2 D. 2y2 (x 3 3) 4 3(x 3 3) 1 3 C C 解析 设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)， 圆C与y轴交于点A(0,1)，B(0， 1)， 由弧长之比为 21 易知OCA ACB 12060， 则 tan 60， 1 2 1 2 |OA| |OC| 1 |OC| 3 所以a|OC|，即圆心坐标为，r2|AC|212 2 .所以圆的方程 3 3( 3 3 ，0) ( 3 3) 4 3 为 2y2 . (x 3 3) 4 3