2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第六章 第三节 等比数列及其前n项和 Word版含答案.pdf

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1、第三节第三节等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 1等比数列的有关概念等比数列的有关概念 (1)定义 ： 如果一个数列从第定义 ： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零不为零)，那 么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 ，那 么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表 达式为 表示，定义的表 达式为q. an 1 an (2)等比中项：如果等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么成等比数列，那么.即即 G 是是 a 与与 b 的的G叫叫做做a与与

2、b的的等等比比中中项项 等比中项等比中项a，G，b 成等比数列成等比数列G2ab. 2等比数列的有关公式等比数列的有关公式 (1)通项公式：通项公式：ana1q.n1 (2)通项公式的推广：通项公式的推广：anamqn m(n， ，mN*) (3)前前 n 项和公式：项和公式：SnError!Error!, (1)等比数列中的任何一项都不为等比数列中的任何一项都不为 0，且公比，且公比 q0. (2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如 ：若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如 ： 0,0,0， (1)任意两个数都有等差中项，但不一定有

3、等比中项任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项 (2)只有当两个数同号且不为只有当两个数同号且不为 0 时，才有等比中项时，才有等比中项 (3)两个数两个数 a，b 的等差中项只有一个，两个同号且不为的等差中项只有一个，两个同号且不为 0 的数的等比中项有两个的数的等比中项有两个. 当当 q1，a10 或或 0q1，a10 时，时，an是递增数列；是递增数列； 当当 q1，a10 或或 0q1，a10 时，时，an是递减数列；是递减数列； 当当 q1 时，时，an是常数列；当是常数列；当 q1 时，时，an是摆动数列是摆动数列 (q1) Sn 1 qn S1 1 q 熟记常用结论熟记常用结

4、论 1若若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则，则 amanapaqa . 2 k 2若若an，bn(项数相同项数相同)是等比数列，则是等比数列，则an(0)，a ，anbn，仍是等比，仍是等比 1 an 2 n an bn 数列数列 3在等比数列在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an k， ，an 2k， ，an 3k，为等比数列，公比为 ，为等比数列，公比为 qk. 4an为等比数列，若为等比数列，若 a1a2anTn，则，则 Tn，成等比数列，成等比数列 T2n Tn T3n T2n 5当当 q0，q1 时，

5、时，Snkkqn(k0)是是an成等比数列的充要条件，此时成等比数列的充要条件，此时 k. a1 1 q 6有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还 等于中间项的平方 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还 等于中间项的平方 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“”对的打“” ，错的打“”) (1)满足满足 an 1 qan(nN*，q 为常数为常数)的数列的数列an为等比数列为等比数列( ) (2)三个数三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是成等比数列的充要条件是 b2ac.( ) (3)如

6、果数列如果数列an为等比数列，为等比数列，bna2n 1 a2n，则数列，则数列bn也是等比数列也是等比数列( ) (4)如果数列如果数列an为等比数列，则数列为等比数列，则数列ln an是等差数列是等差数列( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、选填题二、选填题 1在等比数列在等比数列an中，中，a32，a78，则，则 a5等于等于( ) A5 B5 C4 D4 解析：选解析：选 C a a3a72816，a54. 2 5 又又a5a3q20，a54. 2 已知 已知 Sn是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列an的前的前 n 项和， 若项和， 若 a2a416，

7、S37， 则， 则 a8( ) A32 B64 C128 D256 解析：选解析：选 C a2a4a 16，a34(负值舍去负值舍去)， 2 3 又又 S3a1a2a3a37， a3 q2 a3 q 联立，得联立，得 3q24q40，解得，解得 q 或 或 q2， 2 3 an0，q2，a8a3q527128. 3设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn.若若 S23，S415，则，则 S6( ) A31 B32 C63 D64 解析 ： 选解析 ： 选 C 由等比数列的性质， 得 由等比数列的性质， 得(S4S2)2S2(S6S4)， 即， 即 1223(S615)， 解得，

8、 解得 S6 63. 4等比数列等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，已知，已知 S3a210a1，a59，则，则 a1_. 解析：由已知条件及解析：由已知条件及 S3a1a2a3，得，得 a39a1， 设数列设数列an的公比为的公比为 q，则，则 q29， 所以所以 a59a1q481a1，得，得 a1 . 1 9 答案：答案：1 9 5设设an是公比为正数的等比数列，是公比为正数的等比数列，Sn为为an的前的前 n 项和，若项和，若 a11，a516，则数列，则数列an 的前的前 7 项和为项和为_ 解析：设等比数列解析：设等比数列an的公比为的公比为 q(q0)， 由由 a5a1

9、q416，a11，得，得 q416，解得，解得 q2， 所以所以 S7127. a1 1 q7 1 q 1 127 1 2 答案：答案：127 考点一等比数列基本量的运算基础自学过关考点一等比数列基本量的运算基础自学过关 题组练透 题组练透 1已知等比数列已知等比数列an满足满足 a1 ， ，a3a54(a41)，则，则 a2等于等于( ) 1 4 A2 B1 C. D. 1 2 1 8 解析：选解析：选 C 由 由an为等比数列，得为等比数列，得 a3a5a ， 2 4 又又 a3a54(a41)，所以，所以 a 4(a41)，解得，解得 a42. 2 4 设等比数列设等比数列an的公比为的

10、公比为 q， 则由则由 a4a1q3，得，得 2 q3，解得，解得 q2， 1 4 所以所以 a2a1q . 1 2 2(2019湘东五校联考湘东五校联考)已知在等比数列已知在等比数列an中，中，a37，前三项之和，前三项之和 S321，则公比，则公比 q 的 值是 的 值是( ) A1 B1 2 C1 或或 D1 或或 1 2 1 2 解析：选解析：选 C 当 当 q1 时，时，an7，S321，符合题意；，符合题意； 当当 q1 时，由时，由Error!Error!得得 q . 1 2 综上，综上，q 的值是的值是 1 或 ，故选或 ，故选 C. 1 2 3(2017全国卷全国卷)我国古代

11、数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？” 意思是 ： 一座 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？” 意思是 ： 一座 7 层塔共挂了层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯倍，则塔的顶层共有灯( ) A1 盏盏 B3 盏盏 C5 盏盏 D9 盏盏 解析 ： 选解析 ： 选 B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列， 记为 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，

12、 记为an， 则前， 则前 7 项的和项的和 S7381， 公比 ， 公比 q2，依题意，得，依题意，得 S7381，解得，解得 a13. a1 1 27 1 2 4已知等比数列已知等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a1a3 ， ，a2a4 ，则 ，则_. 5 2 5 4 Sn an 解析：设等比数列解析：设等比数列an的公比为的公比为 q， Error!Error!Error!Error! 由除以可得由除以可得2， 1 q2 q q3 解得解得 q ，代入得 ，代入得 a12， 1 2 an2 n1 ， ( ( 1 2) ) 4 2n Sn4， 2 1 ( ( 1 2)

13、) n 11 2 ( ( 1 1 2n) ) 2n1. Sn an 4 ( ( 1 1 2n) ) 4 2n 答案：答案：2n1 名师微点名师微点 等比数列基本量运算的解题策略等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组组)便可迎刃而解便可迎刃而解 (2)等比数列的前等比数列的前n项和公式涉及对公比项和公式涉及对公比q的分类讨论， 当的分类讨论， 当q1时，时， an的

14、前的前n项和项和Snna1； 当 ； 当 q1 时，时，an的前的前 n 项和项和 Sn. a1 1 qn 1 q a1anq 1 q 考点二等比数列的判定与证明师生共研过关考点二等比数列的判定与证明师生共研过关 典例精析 典例精析 已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， a11， Sn 1 4an2(nN*)， 若， 若 bnan 1 2an， 求证 ：， 求证 ： bn 是等比数列是等比数列 证明 因为证明 因为 an 2 Sn 2 Sn 1 4an 1 24an24an 1 4an， 所以所以2. bn 1 bn an 2 2a n 1 an 1 2an 4an 1 4a

15、n2a n 1 an 1 2an 2an 1 4an an 1 2an 因为因为 S2a1a24a12，所以，所以 a25. 所以所以 b1a22a13. 所以数列所以数列bn是首项为是首项为 3，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 解题技法解题技法 等比数列的判定方法等比数列的判定方法 定义法定义法 若若q(q 为非零常数，为非零常数，nN*)或或q(q 为非零常数且为非零常数且 n2，nN*)， an 1 an an an 1 则则an是等比数列是等比数列 中项公式法中项公式法若数列若数列an中，中，an0 且且 aanan 2(n N*)，则，则an是等比数列是等比数列 2n1 通

16、项公式法通项公式法 若数列若数列an的通项公式可写成的通项公式可写成 ancqn 1(c， ， q 均为非零常数，均为非零常数， nN*)， 则， 则an 是等比数列是等比数列 前前 n 项和公式 法 项和公式 法 若数列若数列an的前的前 n 项和项和 Snkqnk(k 为非零常数，为非零常数，q0,1)，则，则an是等比数 列 是等比数 列 提醒 提醒 (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定 前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择 题、填空题中的判定 (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续

17、三项不成等比数列即可若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 过关训练过关训练 1对任意等比数列对任意等比数列an，下列说法一定正确的是，下列说法一定正确的是( ) Aa1，a3，a9成等比数列 成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列成等比数列 Ca2，a4，a8成等比数列成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列成等比数列 解析：选解析：选 D 设等比数列 设等比数列an的公比为的公比为 q，则，则 a3a1q2，a6a1q5，a9a1q8，满足，满足(a1q5)2 a1q2a1q8，即，即 a a3a9. 2 6 2已知数列已知数列an的前的前 n 项和为项和为

18、 Sn，且，且 Sn2an3n(nN*) (1)求求 a1，a2，a3的值；的值； (2)是否存在常数是否存在常数 ，使得，使得an为等比数列？若存在，求出为等比数列？若存在，求出 的值和通项公式的值和通项公式 an；若不 存在，请说明理由 ；若不 存在，请说明理由 解：解：(1)当当 n1 时，时，S1a12a13，解得，解得 a13； 当当 n2 时，时，S2a1a22a26，解得，解得 a29； 当当 n3 时，时，S3a1a2a32a39，解得，解得 a321. (2)假设假设an是等比数列， 则是等比数列， 则(a2)2(a1)(a3)， 即， 即(9)2(3)(21)， 解得， 解

19、得 3. 下面证明下面证明an3为等比数列：为等比数列： Sn2an3n，Sn 1 2an 1 3n3， an 1 Sn 1 Sn2an 1 2an3，即，即 2an3an 1， ， 2(an3)an 1 3，2， an 1 3 an3 存在存在 3，使得数列，使得数列an3是首项为是首项为 a136，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列 an362n 1，即 ，即 an3(2n1)(nN*) 考点三等比数列的性质及应用师生共研过关考点三等比数列的性质及应用师生共研过关 典例精析 典例精析 (1)已知等比数列已知等比数列an的各项为正数，且的各项为正数，且 a5a6a4a718，则，则 l

20、og3a1log3a2log3a10 ( ) A12 B10 C8 D2log35 (2)设等比数列设等比数列an中，前中，前 n 项和为项和为 Sn，已知，已知 S38，S67，则，则 a7a8a9等于等于( ) A. B 1 8 1 8 C. D. 57 8 55 8 (3)已知等比数列已知等比数列an共有共有 2n 项，其和为项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公 比 ，则公 比 q_. 解析 解析 (1)由由 a5a6a4a718，得，得 a5a69， 所以所以 log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10) log3(a

21、5a6)55log3910. (2)因为因为 a7a8a9S9S6，且，且 S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即也成等比数列，即 8，1，S9S6成 等比数列， 成 等比数列， 所以所以 8(S9S6)1，即，即 S9S6 ， ， 1 8 所以所以 a7a8a9 . 1 8 (3)由题意，得由题意，得Error!Error! 解得解得Error!Error!所以所以 q2. S偶 偶 S奇 奇 160 80 答案 答案 (1)B (2)A (3)2 解题技法解题技法 应用等比数列性质解题时的应用等比数列性质解题时的 2 个注意点个注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时， 要注意挖掘隐含条

22、件， 利用性质， 特别是性质 “若在解决等比数列的有关问题时， 要注意挖掘隐含条件， 利用性质， 特别是性质 “若 mn pq(m，n，p，qN*)，则，则 amanapaq” ，可以减少运算量，提高解题速度” ，可以减少运算量，提高解题速度 (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外， 解题时注意设而不求思想的运用 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外， 解题时注意设而不求思想的运用 过关训练过关训练 1在等比数列在等比数列an中，如果中，如果 a1a240，a3a460，那么，那么 a7a8( ) A135 B100

23、C95 D80 解析 ： 选解析 ： 选 A 由等比数列的性质知， 由等比数列的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项 为 成等比数列，其首项 为 40，公比为 ，所以，公比为 ，所以 a7a840 3 135. 60 40 3 2 ( ( 3 2) ) 2 已知数列 已知数列 1， a1， a2,9 是等差数列， 数列是等差数列， 数列 1， b1， b2， b3,9 是等比数列， 则是等比数列， 则_. b2 a1a2 解析 ： 因为数列解析 ： 因为数列 1，a1，a2,9 是等差数列，所以是等差数列，所以 a1a21910.因为数列因为数列 1，b1，b2，b3,9 是等比数列， 所以是等比数列， 所以 b 199， 又， 又 b21q20(q 为等比数列的公比为等比数列的公比)， 所以， 所以 b23， 则， 则 2 2 b2 a1a2 . 3 10 答案：答案： 3 10