2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 Word版含答案.pdf

《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 Word版含答案.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第二节第二节等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 1等差数列的有关概念等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差， 符号表示为 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差， 符号表示为 an 1 and (n N*， d 为常数为常数) (2)等差中项：数列等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是 A，其中，其中 A 叫做叫做 a，b 的等的等 a b 2 差中项

2、差中项 2等差数列的有关公式等差数列的有关公式 (1)通项公式：通项公式：ana1(n1)d . (2)通项公式的推广：通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (3)前前 n 项和公式：项和公式：Snna1d . n n 1 2 n a1an 2 , d0an为递增数列，为递增数列， d0an为常数列，为常数列， d0an为递减数列为递减数列 当当 d0 时，等差数列时，等差数列an的通项公式的通项公式 andn(a1d)是关于是关于 d 的一次函数的一次函数 当当 d0 时，等差数列时，等差数列an的前的前 n 项和项和 Sn n2n 是关于是关于 n 的二次函数的二次函数 d 2

3、 ( ( a1d 2) ) 熟记常用结论 熟记常用结论 1若若an为等差数列，且为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则，则 akalaman. 2若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为 d，则，则a2n也是等差数列，公差为也是等差数列，公差为 2d. 3若若an，bn是等差数列，则是等差数列，则panqbn也是等差数列也是等差数列 4若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为 d，则，则 ak，ak m， ，ak 2m， ，(k，mN*)是公差为是公差为 md 的等 差数列 的等 差数列 5若若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与是等差数列，则也成等差数列，其首项与an

4、首项相同，公差是首项相同，公差是an公差的公差的 . Sn n 1 2 6若若an是等差数列，是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为分别为an的前的前 m 项，前项，前 2m 项，前项，前 3m 项的和， 则 项的和， 则 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列也成等差数列 7关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为若项数为 2n，则，则 S偶 偶 S奇 奇 nd，. S奇 奇 S偶 偶 an an 1 (2)若项数为若项数为 2n1，则，则 S偶 偶 (n1)an，S奇 奇 nan，S奇 奇 S偶 偶 an，. S奇 奇 S偶 偶 n n

5、1 8两个等差数列两个等差数列an，bn的前的前 n 项和项和 Sn，Tn之间的关系为之间的关系为. an bn S2n 1 T2n 1 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“”对的打“” ，错的打“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列( ) (2)等差数列等差数列an的单调性是由公差的单调性是由公差 d 决定的决定的( ) (3)等差数列的前等差数列的前 n 项和公式是常数项为项和公式是常数项为 0 的二次函数的二次函数( ) (4)已

6、知等差数列已知等差数列an的通项公式的通项公式 an32n，则它的公差为，则它的公差为2.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、选填题二、选填题 1在等差数列中，若在等差数列中，若 a24，a42，则，则 a6( ) a n A1 B0 C1 D6 解析：选解析：选 B 为等差数列， 为等差数列， a n 2a4a2a6，a62a4a22240. 2等差数列等差数列an中，中，a1a510，a47，则数列，则数列an的公差为的公差为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选解析：选 B 设公差为 设公差为 d.a1a52a310，a35， 又又a47，d2.故选故选 B. 3等

7、差数列等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 S36，a14，则公差，则公差 d 等于等于( ) A1 B.5 3 C2 D3 解析：选解析：选 C S36 (a1a3)，且，且 a3a12d，a14，d2，故选，故选 C. 3 2 4已知等差数列已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第，则该数列的第 100 项为项为_ 解析：依题意得，该数列的首项为解析：依题意得，该数列的首项为8，公差为，公差为 5，所以，所以 a1008995487. 答案：答案：487 5在等差数列在等差数列an中，中，a10，公差，公差 d0，若，若 ama1a2a9，则，则 m 的值为的值为_ 解析：

8、解析：ama1a2a99a1d36da37， 9 8 2 m37. 答案：答案：37 考点一等差数列基本量的运算基础自学过关考点一等差数列基本量的运算基础自学过关 题组练透 题组练透 1 (2018全国卷全国卷)记记 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和， 若项和， 若 3S3S2S4， a12， 则， 则 a5( ) A12 B10 C10 D12 解析 ： 选解析 ： 选 B 设等差数列 设等差数列an的公差为的公差为 d， 由， 由 3S3S2S4， 得， 得3(3a13d)2a1d4a16d， 即 ， 即 3a12d0.将将 a12 代入上式，解得代入上式，解得 d3，故，故

9、 a5a1(51)d24(3)10. 2(2017全国卷全国卷)记记 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和若项和若 a4a524，S648，则，则an的 公差为 的 公差为( ) A1 B2 C4 D8 解析：选解析：选 C 设等差数列 设等差数列an的公差为的公差为 d， 则由则由Error!Error!得得Error!Error! 即即Error!Error!解得解得 d4. 3(2019西安质检西安质检)已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a3a512，a20.若若 a10， 则 ， 则 S20( ) A420 B340 C420 D340 解

10、析：选解析：选 D 设数列 设数列an的公差为的公差为 d，则，则 a3a2dd，a5a23d3d，由，由 a3a512， 得 ， 得d2， 由， 由a10， a20， 可知， 可知d0， 所以， 所以d2， 所以， 所以a12， 故， 故S20202(2) 20 19 2 340. 4(2019西安八校联考西安八校联考)设数列设数列an是等差数列，且是等差数列，且 a26，a66，Sn是数列是数列an的前的前 n 项和，则项和，则( ) AS4S3 BS4S3 CS4S1 DS4S1 解析 ： 选解析 ： 选 B 设 设an的公差为的公差为 d， 由， 由 a26， a66， 得， 得Err

11、or!Error!解得解得Error!Error!于是，于是， S19， S3 3(9)318，S44(9)318，所以，所以 S4S3，S4S1，故选，故选 B. 3 2 2 4 3 2 名师微点名师微点 等差数列基本运算的常见类型及解题策略等差数列基本运算的常见类型及解题策略 (1)求公差求公差 d 或项数或项数 n.在求解时，一般要运用方程思想在求解时，一般要运用方程思想 (2)求通项求通项a1和和 d 是等差数列的两个基本元素是等差数列的两个基本元素 (3)求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解 (4)求前求前 n 项和利用

12、等差数列的前项和利用等差数列的前 n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解项和公式直接求解或利用等差中项间接求解 提醒 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想， 要注意使用公式时的准确性与 合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想， 使运算更加便捷 提醒 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想， 要注意使用公式时的准确性与 合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想， 使运算更加便捷 考点二等差数列的判定与证明师生共研过关考点二等差数列的判定与证明师生共研过关 典例精析 典例精析 若数列若数列an的前的前 n

13、项和为项和为 Sn，且满足，且满足 an2SnSn 1 0(n2)，a1 . 1 2 (1)求证：成等差数列；求证：成等差数列； 1 Sn (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 解 解 (1)证明：当证明：当 n2 时，由时，由 an2SnSn 1 0， 得得 SnSn 1 2SnSn 1， ， 因为因为 Sn0，所以，所以2， 1 Sn 1 Sn 1 又又2， 1 S1 1 a1 故是首项为故是首项为 2，公差为，公差为 2 的等差数列的等差数列 1 Sn (2)由由(1)可得可得2n，所以，所以 Sn. 1 Sn 1 2n 当当 n2 时，时， anSnSn 1 . 1 2n 1 2

14、 n 1 n1 n 2n n 1 1 2n n 1 当当 n1 时，时，a1 不适合上式 不适合上式 1 2 故故 anError!Error! 变 变式 式发 发散散 1(变设问变设问)本例条件不变，判断数列本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由是否为等差数列，并说明理由 解：因为解：因为 anSnSn 1(n 2)，an2SnSn 1 0， 所以所以 SnSn 1 2SnSn 1 0(n2) 所以所以2(n2) 1 Sn 1 Sn 1 又又2， 1 S1 1 a1 所以是以所以是以 2 为首项，为首项，2 为公差的等差数列为公差的等差数列 1 Sn 所以所以2(n1)22n，

15、故，故 Sn. 1 Sn 1 2n 所以当所以当 n2 时，时，anSnSn 1 ， 1 2n 1 2 n 1 1 2n n 1 所 以所 以 an 1 .又又 an 1 an 1 2n n 1 1 2n n 1 1 2n n 1 1 2n ( ( 1 n 1 1 n 1) ) ， 1 n n1 n 1 所以当所以当 n2 时，时，an 1 an的值不是一个与的值不是一个与 n 无关的常数，故数列无关的常数，故数列an不是一个等差数列不是一个等差数列 2 (变条件变条件)将本例条件 “将本例条件 “an2SnSn 1 0(n2)， a1 ” 变为 “ ” 变为 “Sn(Snan)2an0(n2

16、)， a1 1 2 2” ，问题不变，试求解” ，问题不变，试求解 解：解：(1)证明：当证明：当 n2 时，时，anSnSn 1且 且 Sn(Snan)2an0， 所以所以 SnSSn n(S(Sn nSSn1 n1) )2(SnSn 1) 0， 即即 SnSn 1 2(SnSn 1) 0， 因为因为 Sn0，所以，所以 . 1 Sn 1 Sn 1 1 2 又 ，故数列是以首项为 ，公差为 的等差数列又 ，故数列是以首项为 ，公差为 的等差数列 1 S1 1 a1 1 2 1 Sn 1 2 1 2 (2)由由(1)知 ，所以知 ，所以 Sn ， ， 1 Sn n 2 2 n 当当 n2 时，

17、时，anSnSn 1 . 2 n n 1 当当 n1 时，时，a12 不适合上式，故不适合上式，故 anError!Error! 解题技法解题技法 等差数列的判定与证明方法等差数列的判定与证明方法 方法方法解读解读适合题型适合题型 定义法定义法 对于数列对于数列an，anan 1(n 2，nN*)为同一常 数 为同一常 数an是等差数列是等差数列 等差中 项法 等差中 项法 2an 1 anan 2(n 3，nN*)成立成立an是等差 数列 是等差 数列 解答题中的证明问题解答题中的证明问题 通项公 式法 通项公 式法 anpnq(p， q为常数为常数)对任意的正整数对任意的正整数n都成立都成

18、立 an是等差数列是等差数列 前前n项和 公式法 项和 公式法 验证验证SnAn2Bn(A， B为常数为常数)对任意的正整数对任意的正整数n 都成立都成立an是等差数列是等差数列 选择、填空题中的判定问 题 选择、填空题中的判定问 题 提醒 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法判断时易忽视 定义中从第 提醒 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法判断时易忽视 定义中从第 2 项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证 a2a1d 这一关键条 件 这一关键条 件 过关训练过关训练 1已知数列已知数列a

19、n满足：满足：a12，an 1 3an3n 1 2n，设，设 bn，求证：数列，求证：数列bn为为 an2n 3n 等差数列，并求等差数列，并求an的通项公式的通项公式 证明：因为证明：因为 bn 1 bn an 1 2 n 1 3n 1 an2n 3n 1， 3an3n 1 2n2 n 1 3n 1 3an32n 3n 1 所以所以bn为等差数列，为等差数列， 又又 b10，所以，所以 bnn1， a12 3 所以所以 an(n1)3n2n. 2已知数列已知数列an满足满足(an 1 1)(an1)3(anan 1)， ，a12，令，令 bn. 1 an1 (1)求证：数列求证：数列bn是等

20、差数列；是等差数列； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 解：解：(1)证明：因为 ，证明：因为 ， 1 an 1 1 1 an1 anan 1 a n 1 1 an 1 1 3 所以所以 bn 1 bn ， ， 1 3 所以数列所以数列bn是等差数列是等差数列 (2)由由(1)及及 b11， 1 a11 1 2 1 知知 bn n ， ， 1 3 2 3 所以所以 an1，所以，所以 an. 3 n 2 n 5 n 2 考点三等差数列的性质与应用师生共研过关考点三等差数列的性质与应用师生共研过关 典例精析 典例精析 (1)(2018咸阳二模咸阳二模)等差数列等差数列an的前的前 n

21、项和为项和为 Sn， 若， 若 a4， a10是方程是方程 x28x10 的两根， 则 的两根， 则 S13( ) A58 B54 C56 D52 (2)已知等差数列已知等差数列an的前的前 10 项和为项和为 30，它的前，它的前 30 项和为项和为 210，则前，则前 20 项和为项和为( ) A100 B120 C390 D540 (3)已知已知 Sn是等差数列是等差数列an的前的前 n 项和，若项和，若 a12 014，6，则，则 S2 019 S2 014 2 014 S2 008 2 008 _. 解析 解析 (1)a4，a10是方程是方程 x28x10 的两根，的两根， a4a1

22、08，a1a138， S1352. 13 a1a13 2 13 8 2 (2)设设 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，项和， 则则 S10，S20S10，S30S20成等差数列，成等差数列， 2(S20S10)S10(S30S20)， 又等差数列又等差数列an的前的前 10 项和为项和为 30，前，前 30 项和为项和为 210， 2(S2030)30(210S20)，解得，解得 S20100. (3)由等差数列的性质可得也为等差数列由等差数列的性质可得也为等差数列 Sn n 设其公差为设其公差为 d，则，则6d6，d1. S2 014 2 014 S2 008 2 008 故故

23、2 018d2 0142 0184， S2 019 2 019 S1 1 S2 01942 0198 076. 答案 答案 (1)D (2)A (3)8 076 解题技法解题技法 一般地， 运用等差数列性质可以优化解题过程， 但要注意性质运用的条件， 如一般地， 运用等差数列性质可以优化解题过程， 但要注意性质运用的条件， 如 mnp q，则，则 amanapaq(m，n，p，qN*)；数列；数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也也成等差数列；也 Sn n 成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具 过关训练过关训练 1(2019聊城模拟聊城

24、模拟)设等差数列设等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 S13104，a65，则数列，则数列an的的 公差为公差为( ) A2 B3 C4 D5 解析：选解析：选 B 设等差数列 设等差数列an的公差为的公差为 d. 因为因为 S13104， 所以所以104，所以，所以 13a7104，解得，解得 a78. 13 a1a13 2 因为因为 a65，所以，所以 da7a6853. 2(2018宁德二检宁德二检)已知等差数列已知等差数列an满足满足 a3a514，a2a633，则，则 a1a7( ) A33 B16 C13 D12 解析：选解析：选 C 设等差数列 设等差数列an的

25、公差为的公差为 d， 因为因为 a3a514，所以，所以 a2a614， 又又 a2a633，所以，所以Error!Error!或或Error!Error! 当当Error!Error!时，时，d2， 11 3 6 2 所以所以 a1a7(a2d)(a6d)13； 当当Error!Error!时，时，d2， 3 11 6 2 所以所以 a1a7(a2d)(a6d)13. 综上，综上，a1a713，故选，故选 C. 3已知等差数列已知等差数列an，bn的前的前 n 项和分别为项和分别为 Sn，Tn，若，则，若，则_. Sn Tn 2n 3n 1 a11 b11 解析：由等差数列前解析：由等差数列

26、前 n 项和的性质，项和的性质， 得得. a11 b11 S21 T21 2 21 3 211 21 32 答案：答案：21 32 考点四等差数列前考点四等差数列前 n 项和的最值问题师生共研过关项和的最值问题师生共研过关 典例精析 典例精析 在等差数列在等差数列an中， 已知中， 已知 a113,3a211a6， 则数列， 则数列an的前的前 n 项和项和 Sn的最大值为的最大值为_ 解析 法一 通项法解析 法一 通项法 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d. 由由3a211a6， 得， 得3(13d)11(135d)， 解得， 解得d2， 所以， 所以an13(n1)(2) 2n1

27、5. 由由Error!Error!得得Error!Error!解得解得n. 13 2 15 2 因为因为 nN*， 所以当所以当 n7 时，数列时，数列an的前的前 n 项和项和 Sn最大，最大值为最大，最大值为 S749. 7 132 7 15 2 法二 二次函数法法二 二次函数法 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d. 由由3a211a6， 得， 得3(13d)11(135d)， 解得， 解得d2， 所以， 所以an13(n1)(2) 2n15. 所以所以 Snn214n(n7)249， n 1315 2n 2 所以当所以当 n7 时，数列时，数列an的前的前 n 项和项和 Sn最

28、大，最大值为最大，最大值为 S749. 答案 答案 49 解题技法解题技法 求数列前求数列前 n 项和的最值的方法项和的最值的方法 (1)通项法 ： 若通项法 ： 若 a10，d0，则，则 Sn必有最大值，其必有最大值，其 n 的值可用不等式组的值可用不等式组Error!Error!来确定 ； 若 来确定 ； 若 a10，d0，则，则 Sn必有最小值，其必有最小值，其 n 的值可用不等式组的值可用不等式组Error!Error!来确定来确定 (2)二次函数法：等差数列二次函数法：等差数列an中，由于中，由于 Snna1d n2n，可用求函数，可用求函数 n n 1 2 d 2 ( ( a1d

29、2) ) 最值的方法来求前最值的方法来求前 n 项和的最值，这里应由项和的最值，这里应由 nN*及二次函数图象的对称性来确定及二次函数图象的对称性来确定 n 的值的值 (3)不等式组法：借助不等式组法：借助 Sn最大时，有最大时，有Error!Error!(n2，nN*)，解此不等式组确定，解此不等式组确定 n 的范围， 进而确定 的范围， 进而确定 n 的值和对应的值和对应 Sn的值的值(即即 Sn的最值的最值) 过关训练过关训练 1已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和是项和是 Sn，若，若 S150，S160，则，则 Sn的最大值是的最大值是( ) AS1 BS7 CS8 DS1

30、5 解析 ： 选解析 ： 选C 由等差数列的前 由等差数列的前n项和公式可得项和公式可得S1515a80， S168(a8a9)0， 所以， 所以a80， a90，则，则 da9a80， 所以在数列所以在数列an中，当中，当 n9 时，时，an0，当，当 n9 时，时，an0， 所以当所以当 n8 时，时，Sn最大，故选最大，故选 C. 2(2018全国卷全国卷)记记 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，已知项和，已知 a17，S315. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)求求 Sn，并求，并求 Sn的最小值的最小值 解：解：(1)设设an的公差为的公差为 d， 由题意得由题意得 3a13d15. 又又 a17，所以，所以 d2. 所以所以an的通项公式为的通项公式为 an2n9. (2)由由(1)得得 Snn28n(n4)216， n a1an 2 所以当所以当 n4 时，时，Sn取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为16.