《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章 第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 Word版含答案.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第八节第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.均值均值 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：的分布列为： Xx1x2xixn Pp1p2pipn 则称则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量为随机变量 X 的均值或数学期望的均值或数学期望.它反映了离 散型随机变量取值的平均水平 它反映了离 散型随机变量取值的平均水平. 1期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均., ,2 E X是一个实数，由是一个实数，由 X 的分 布列唯一确定，即作为随机变量， 的分
2、 布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而是可变的，可取不同值，而 E X是不变的，它描述是不变的，它描述 X 取 值的平均状态 取 值的平均状态., 3 E Xx1p1x2p2xnpn直接给出了直接给出了 E X的求法，即随机变量取值与相 应概率分别相乘后相加 的求法，即随机变量取值与相 应概率分别相乘后相加. 2.方差方差 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布列为：的分布列为： Xx1x2xixn Pp1p2pipn 则则(xiE(X)2描述了描述了 xi(i1,2，n)相对于均值相对于均值 E(X)的偏离程度的偏离程度.而而 D(X)(xi n i1 E(X)2
3、pi为这些偏离程度的加权平均， 刻画了随机变量为这些偏离程度的加权平均， 刻画了随机变量X与其均值与其均值E(X)的平均偏离程度的平均偏离程度.称称D(X) 为随机变量为随机变量 X 的方差，并称其算术平方根为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量 X 的标准差的标准差.D X 1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度.D X越大， 表明平均偏离程度越大，越大， 表明平均偏离程度越大， X 的取值越分散的取值越分散.反之，反之， D X越小，越小， X 的取值越集中在的取值越集中
4、在 E X 附近 附近., ,2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负. 3.两个特殊分布的期望与方差两个特殊分布的期望与方差 分布分布期望期望方差方差 两点分布两点分布E(X)pD(X)p(1p) 二项分布二项分布E(X)npD(X)np(1p) 4.正态分布正态分布 (1)正态曲线的特点正态曲线的特点 曲线位于曲线位于 x 轴上方，与轴上方，与 x 轴不相交；轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；对称； 曲线在曲线在 x 处达到峰值；处达到峰值； 1 2 曲线与曲线与 x 轴之间的面积为轴之
5、间的面积为 1； 当当 一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着确定，曲线随着 的变化而沿的变化而沿 x 轴平移；轴平移； 当当 一定时， 曲线的形状由一定时， 曲线的形状由 确定，确定， 越小， 曲线越 “瘦高” ， 表示总体的分布越集中 ；越小， 曲线越 “瘦高” ， 表示总体的分布越集中 ； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散. (2)正态分布的三个常用数据正态分布的三个常用数据 P(X)0.682 6； P(2X2)0.954 4； P(3X3)0.997 4. 熟记常用结论熟记常用结论 若若 YaXb，其中，其中
6、a，b 是常数，是常数，X 是随机变量，则是随机变量，则 (1)E(k)k，D(k)0，其中，其中 k 为常数；为常数； (2)E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)； (3)E(X1X2)E(X1)E(X2)； (4)D(X)E(X2)(E(X)2； (5)若若 X1，X2相互独立，则相互独立，则 E(X1X2)E(X1)E(X2). (6)若若 XN(，2)，则，则 X 的均值与方差分别为：的均值与方差分别为：E(X)，D(X)2. 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“”对的打“” ，错的打“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变
7、量随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差 越小，则偏离均值的平均程度越小 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差 越小，则偏离均值的平均程度越小.( ) (3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) 二、选填题二、选填题 1.已知已知 X 的分布列为：的分布列为： X101 P 1 2 1 3 1 6 设设 Y2X3，则，则 E(Y)
8、的值为的值为( ) A. B.4 7 3 C.1D.1 解析：选解析：选 A E(X) ， ， 1 2 1 6 1 3 E(Y)E(2X3)2E(X)3 3 . 2 3 7 3 2.已知已知B，并且，并且 23，则方差，则方差 D()( ) ( ( 4， ，1 3) ) A.B. 32 9 8 9 C.D. 43 9 59 9 解析：选解析：选 A 由题意知， 由题意知，D()4 ， ， 1 3 ( ( 11 3) ) 8 9 23，D()4D()4 . 8 9 32 9 3.设随机变量设随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N(0,1)，若，若 P(X1)p，则，则 P(1X0)( ) A
9、. p B.1p 1 2 C.12pD. p 1 2 解析：解析：选选 D 因为随机变量因为随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N(0,1)，所以正态分布曲线关于直线所以正态分布曲线关于直线 x0 对称对称， 所以所以 P(X0)P(X0) ， ，P(X1)P(X1)p， 1 2 所以所以 P(1X0)P(X0)P(X1) p. 1 2 4.有一批产品，其中有有一批产品，其中有 12 件正品和件正品和 4 件次品，从中有放回地任取件次品，从中有放回地任取 3 件，若件，若 X 表示取到次 品的次数，则 表示取到次 品的次数，则 D(X)_. 解析：解析：XB，D(X)3 . ( ( 3，
10、，1 4) ) 1 4 3 4 9 16 答案：答案： 9 16 5.一个正四面体一个正四面体 ABCD 的四个顶点上分别标有的四个顶点上分别标有 1 分，分，2 分，分，3 分和分和 4 分，往地面抛掷一次 记不在地面上的顶点的分数为 分，往地面抛掷一次 记不在地面上的顶点的分数为 X，则，则 X 的均值为的均值为_. 解析：解析：X 的分布列为：的分布列为： X1234 P 1 4 1 4 1 4 1 4 E(X)1 2 3 4 . 1 4 1 4 1 4 1 4 5 2 答案：答案：5 2 考考点点一一 离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值与与方方差差师师生生共共研研过过关关 典例精
11、析典例精析 为迎接为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费 标准是 ： 滑雪时间不超过 该滑雪场的收费 标准是 ： 滑雪时间不超过 1 小时免费，超过小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为小时的部分每小时收费标准为 40 元元(不足不足 1 小时 的部分按 小时 的部分按 1 小时计算小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开 的概率分别为 ，； 小时离开 的概率分别为 ，；1 小时以上且不超过小时以上
12、且不超过 2 小时离开的概率分别为 ，；两人滑雪时间都不会超小时离开的概率分别为 ，；两人滑雪时间都不会超 1 4 1 6 1 2 2 3 过过 3 小时小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位 ： 元单位 ： 元)，求的分布列与数学期望，求的分布列与数学期望 E()，方差，方差 D(). 解 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元，元， 两人都付两人都付 0 元的概率为元的概率为 P1 ， ，
13、1 4 1 6 1 24 两人都付两人都付 40 元的概率为元的概率为 P2 ， ， 1 2 2 3 1 3 两人都付两人都付 80 元的概率为元的概率为 P3 ， ， ( ( 11 4 1 2) ) ( (1 1 6 2 3) ) 1 4 1 6 1 24 故两人所付费用相同的概率为故两人所付费用相同的概率为 PP1P2P3 . 1 24 1 3 1 24 5 12 (2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为 0,40,80,120,160，则：，则： P(0) ， ， 1 4 1 6 1 24 P(40) ， ， 1 4 2 3 1 2 1 6 1
14、4 P(80) ， ， 1 4 1 6 1 2 2 3 1 6 1 4 5 12 P(120) ， ， 1 2 1 6 1 4 2 3 1 4 P(160) . 1 4 1 6 1 24 的分布列为：的分布列为： 04080120160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E()040 80120 16080. 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 D()(080)2(4080)2 (8080)2(12080)2 (16080)2 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 . 4 000 3 解题技法解题技法 求离散型随机变量的均值与方差的步骤求离散型随机变量的均值与
15、方差的步骤 (1)理解的意义，写出可能的全部值理解的意义，写出可能的全部值. (2)求取每个值的概率求取每个值的概率. (3)写出的分布列写出的分布列. (4)由均值的定义求由均值的定义求 E(). (5)由方差的定义求由方差的定义求 D(). 过关训练过关训练 1.随机变量随机变量 X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2，若，若 P(X0) ， ，E(X)1，则，则 D(X)( ) 1 5 A.B. 1 5 2 5 C.D. 5 5 10 5 解析：选解析：选 B 设 设 P(X1)p，P(X2)q， 由题意得由题意得Error!Error!解得解得 p ， ，q ， ， 3 5 1 5
16、D(X) (01)2 (11)2 (21)2 . 1 5 3 5 1 5 2 5 2.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，名购物者进行采访，5 名男性购物者中有名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购，名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，名倾向于选择实体店，5 名 女性购物者中有 名 女性购物者中有 2 名倾向于选择网购，名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店名倾向于选择实体店. (1)若从若从 10 名购物者中随机抽取名购物者中随机抽取 2 名，其中男
17、、女各一名，求至少名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店 的概率； 名倾向于选择实体店 的概率； (2)若从这若从这 10 名购物者中随机抽取名购物者中随机抽取 3 名， 设名， 设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人 数，求 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人 数，求 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望. 解：解：(1)设“随机抽取设“随机抽取 2 名，其中男、女各一名，至少名，其中男、女各一名，至少 1 名倾向于选择实体店”为事件名倾向于选择实体店”为事件 A， 则 表示事件“随机抽取 ， 则 表示事件“随机抽取 2 名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”
18、 ，名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购” ，A 则则 P(A)1P( )1.A C1 3 C1 2 C1 5 C1 5 19 25 (2)X 所有可能的取值为所有可能的取值为 0,1,2,3， 且且 P(Xk)， Ck 3C3 k7 C 3 10 则则 P(X0)，P(X1)，P(X2)， 7 24 21 40 7 40 P(X3). 1 120 所以所以 X 的分布列为：的分布列为： X0123 P 7 24 21 40 7 40 1 120 E(X)0123. 7 24 21 40 7 40 1 120 9 10 考考点点二二 二二项项分分布布的的均均值值与与方方差差师师生生共共研研过
19、过关关 典例精析典例精析 (2019成都检测成都检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做 了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随 机抽取 某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做 了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随 机抽取 12 天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位 ： 吨单位 ： 吨).若用水量 不低于 若用水量 不低于 95 吨，则称这一天的用水量超标吨，则称这一天的用水量超标. (1)从这从这 12 天的数据中随机抽取天的数据中随机抽取
20、3 个，求至多有个，求至多有 1 天的用水量超标的概率；天的用水量超标的概率； (2)以这以这 12 天的样本数据中用水量超标的频率作为概率， 估计该企业未来天的样本数据中用水量超标的频率作为概率， 估计该企业未来 3 天中用水量超 标的天数， 记随机变量 天中用水量超 标的天数， 记随机变量 X 为未来这为未来这 3 天中用水量超标的天数， 求天中用水量超标的天数， 求 X 的分布列、 数学期望和方差的分布列、 数学期望和方差. 解 解 (1)记“从这记“从这 12 天的数据中随机抽取天的数据中随机抽取 3 个，至多有个，至多有 1 天的用水量超标”为事件天的用水量超标”为事件 A， 则则
21、P(A). C1 4C2 8 C 3 12 C3 8 C 3 12 168 220 42 55 (2)以这以这 12 天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为 . 1 3 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3， 易知易知 XB，P(Xk)C k3k， ，k0,1,2,3， ( ( 3， ，1 3) ) k 3 ( ( 1 3) ) ( ( 2 3) ) 则则 P(X0)，P(X1) ， ，P(X2) ， ，P(X3). 8 27 4 9 2 9 1 27 随机变量随机变量 X 的分布列为：的分布
22、列为： X0123 P 8 27 4 9 2 9 1 27 数学期望数学期望 E(X)3 1， 1 3 方差方差 D(X)3 . 1 3 ( ( 11 3) ) 2 3 解题技法解题技法 二项分布的期望与方差二项分布的期望与方差 (1)如果如果 B(n，p)，则用公式，则用公式 E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量求解，可大大减少计算量. (2)有有些些随随机机变变量量虽虽不不服服从从二二项项分分布布，但但与与之之具具有有线线性性关关系系的的另另一一随随机机变变量量服服从从二二项项分分布布，这这 时时， 可以综合应用可以综合应用 E(ab)aE()b 以及以及 E()np 求出
23、求出 E(ab)， 同样还可求出同样还可求出 D(ab). 过关训练过关训练 1.设设X为随机变量， 且为随机变量， 且XB(n， p)， 若随机变量， 若随机变量X的数学期望的数学期望E(X)4， D(X) ， 则 ， 则P(X2) 4 3 _.(结果用分数表示结果用分数表示) 解析 ： 解析 ： X 为随机变量， 且为随机变量， 且 XB(n， p)， ， E(X)np4， D(X)np(1p) ， 解得 ， 解得 n6， p 4 3 ，P(X2)C 2 4 . 2 3 2 6 ( ( 2 3) ) ( ( 12 3) ) 20 243 答案：答案： 20 243 2.(2019西安模拟西
24、安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机 抽取 一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机 抽取50个作为样本， 称出它们的重量个作为样本， 称出它们的重量(单位 ： 克单位 ： 克)， 重量分组区间为5,15， 重量分组区间为5,15， (15,25， (25,35， (35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图 ， 由此得到样本的重量频率分布直方图(如图如图). (1)求求 a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； (2)从盒子中随机抽取从盒子中随机抽取 3
25、 个小球，其中重量在5,15内的小球个数为个小球，其中重量在5,15内的小球个数为 X，求，求 X 的分布列和数 学期望 的分布列和数 学期望(以直方图中的频率作为概率以直方图中的频率作为概率). 解：解：(1)由题意，得由题意，得(0.020.032a0.018)101， 解得解得 a0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为 20 克，克， 而而 50 个样本中小球重量的平均值 个样本中小球重量的平均值 0.2100.32200.3300.184024.6(克克).x 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为故由样本估计总体
26、，可估计盒子中小球重量的平均值为 24.6 克克. (2)该盒子中小球重量在5,15内的概率为 ，该盒子中小球重量在5,15内的概率为 ， 1 5 则则 XB.X 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3， ( ( 3， ，1 5) ) 则则 P(X0)C 0 3 ， 0 3 ( ( 1 5) ) ( ( 4 5) ) 64 125 P(X1)C 2 ， 1 3 ( ( 1 5) ) ( ( 4 5) ) 48 125 P(X2)C 2 ， ， 2 3 ( ( 1 5) ) 4 5 12 125 P(X3)C 3 0 . 3 3 ( ( 1 5) ) ( ( 4 5) ) 1 125 X 的分
27、布列为：的分布列为： X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 E(X)0123 64 125 48 125 12 125 1 125 3 5 ( ( 或或者者E X 3 1 5 3 5) ) 考考点点三三 均均值值与与方方差差在在决决策策中中的的应应用用师师生生共共研研过过关关 典例精析典例精析 (2018全国卷全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 件，每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产
28、品中任取检验时，先从这箱产品中任取 20 件作 检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 件作 检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记记 20 件产品中恰有件产品中恰有 2 件不合格品的概率为件不合格品的概率为 f(p)，求，求 f(p)的最大值点的最大值点 p0. (2)现对一箱产品检验了现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有件，结果恰有 2 件不合格品，以件不合格品，以(1)中确定的中确定的 p0作为作为 p 的值
29、的值.已 知每件产品的检验费用为 已 知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求，求 EX ； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 解 解 (1)因为因为 20 件产品中恰有件产品中恰有 2 件不合格
30、品的概率为件不合格品的概率为 f(p)C p2(1p)18， 2 20 所以所以 f(p)C 2p(1p)2p(1p)18 1818p 18p2 2(1p)(1p)17 17 2 20 2C p(1p)17(110p). 2 20 令令 f(p)0，得，得 p0.1. 当当 p(0,0.1)时，时，f(p)0； 当当 p(0.1,1)时，时，f(p)0. 所以所以 f(p)的最大值点为的最大值点为 p00.1. (2)由由(1)知，知，p0.1. 令令 Y 表示余下的表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知件产品中的不合格品件数，依题意知 YB(180,0.1)，X202 25Y，
31、即，即 X4025Y.所以所以 EXE(4025Y)4025EY490. 若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为 400 元元.由于由于 EX400，故 应该对余下的产品作检验 ，故 应该对余下的产品作检验. 解题技法解题技法 离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略 (1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的 分布列，正确运用期望、方差公式进行计算 求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的 分布列，正确运用期
32、望、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差 公式计算，则更为简单 要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差 公式计算，则更为简单. (3)在实际问题中，若两个随机变量在实际问题中，若两个随机变量1，2，有，有 E(1)E(2)或或 E(1)与与 E(2)较为接 近时， 就需要用 较为接 近时， 就需要用 D(1)与与 D(2)来比较两个随机变量的稳定程度来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大即一般地将期望最大(或最小或最小) 的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小的方案作为
33、最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大或最大)的方案作为最优方案的方案作为最优方案. 过关训练过关训练 某投资公司在 某投资公司在 2019 年年初准备将年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供 选择： 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供 选择： 项目一：新能源汽车项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；，且这两种情况发生的概率分别为 和 ； 7 9 2 9 项目二 ： 通信设备项目二 ： 通信设备.据市场调
34、研，投资到该项目上，到年底可能获利据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失，可能损失 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 ， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和. 3 5 1 3 1 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：若按“项目一”投资，设获利为解：若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，则万元，则 X1的分布列为：的分布列为： X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)300 (150) 200， 7 9 2
35、9 D(X1)(300200)2 (150200)2 35 000. 7 9 2 9 若按“项目二”投资，设获利为若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，则万元，则 X2的分布列为：的分布列为： X25000300 P 3 5 1 15 1 3 E(X2)500 0(300) 200， 3 5 1 15 1 3 D(X2)(500200)2 (300200)2 (0200)2140 000. 3 5 1 3 1 15 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目
36、一投资综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 考考点点四四 正正态态分分布布师师生生共共研研过过关关 典例精析典例精析 (1)设设 XN(1， )，YN(2， )，这两个正态分布密度曲线如图所示，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确下列结论中正确 2 12 2 的是的是( ) A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) D.对任意正数对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) (2)(2019太原模拟太原模拟)已知随机变量已知随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N(3,1)， 且， 且 P(X4)0.158 7， 则， 则
37、P(2X 4)( ) A.0.682 6 B.0.341 3 C.0.460 3D.0.920 7 (3)某校在一次月考中有某校在一次月考中有 900 人参加考试， 数学考试的成绩服从正态分布人参加考试， 数学考试的成绩服从正态分布 XN(90， a2)(a 0， 试卷满分， 试卷满分 150 分分)， 统计结果显示数学考试成绩在， 统计结果显示数学考试成绩在 70 分到分到 110 分之间的人数约为总人数的 ，分之间的人数约为总人数的 ， 3 5 则此次月考中数学考试成绩不低于则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学生约有分的学生约有_人人. 解 析 解 析 (1)由 正 态 曲 线
38、的 性 质 及 题 图 知 ，由 正 态 曲 线 的 性 质 及 题 图 知 ， 1 2,0 1 2.故 对 任 意 正 数故 对 任 意 正 数 t， P(Xt)P(Yt)正确正确. (2)因为随机变量因为随机变量 X 服从正态分布服从正态分布 N(3,1)，且，且 P(X4)0.158 7，所以，所以 P(X2)0.158 7， 所以 ， 所以 P(2X4)1P(X2)P(X4)0.682 6，故选，故选 A. (3)因为数学成绩服从正态分布因为数学成绩服从正态分布 XN(90，a2)， 所以其正态分布曲线关于直线所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称，对称， 又因为成绩在又因为成绩在
39、70 分到分到 110 分之间的人数约为总人数的 ，分之间的人数约为总人数的 ， 3 5 由对称性知成绩在由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的 ， 所以此次数学考试成绩分以上的人数约为总人数的 ， 所以此次数学考试成绩 1 2 ( ( 13 5) ) 1 5 不低于不低于 110 分的学生约有 分的学生约有 900180(人人). 1 5 答案 答案 (1)C (2)A (3)180 解题技法解题技法 正态分布下正态分布下 2 类常见的概率计算类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于 直线 利用正态分布密度曲线的对称性研究
40、相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于 直线 x 对称，曲线与对称，曲线与 x 轴之间的面积为轴之间的面积为 1. (2)利用利用 3 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 ， 进行对比 联系，确定它们属于 进行对比 联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个中的哪一个. 过关训练过关训练 1.(2019武汉模拟武汉模拟)已知随机变量服从正态分布已知随机变量服从正态分布 N(， 2)， 若， 若 P(2)P(6)0.15， 则 ， 则 P(24)等于等于( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5D.0
41、.7 解析 ： 选解析 ： 选 B P(2)P(6)0.15， ， 4.又又 P(26)1P(2) 2 6 2 P(6)0.7，P(24)0.35，故选，故选 B. P 2 6 2 2.(2017全国卷全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上 随机抽取 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上 随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸个零件，并测量其尺寸(单位：单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2).
42、(1)假设生产状态正常，记假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在个零件中其尺寸在(3，3)之外 的零件数，求 之外 的零件数，求 P(X1)及及 X 的数学期望；的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性；试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的下
43、面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 经计算得 i 9.97，s0.212，其中，其中 xi为抽取为抽取x 1 16 16 i1 x 1 16 16 i1 x i x 2 1 16( 16 i1 x2 i16x2 ) 的第的第 i 个零件的尺寸，个零件的尺寸，i1,2，16. 用样本平均数 作为用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差的估计值 ，用样本标准差 s 作为作为 的估计值 ，利用估计值判断是的估计值 ，利用估计值判断是x 否需对当天的生产过程进行检查？剔除否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， ， 3 )之外的数据，用剩下的数据估计之外的数据，用剩下的数据估计 和和 (精确到精确到 0.01). 附：若随机变量附：若随机变量 Z 服从正态分布服从正态分布 N(，2)，则，则 P(3Z3)0.997 4.0.997 416 0.959 2，0.09.0.008 解：解：(1)抽取的一个零件的尺寸在抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为之内的概率为 0.99